Subgroups — #360758

Order 512.

1462 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1855	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20837	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10864	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	—	2	8	no	—
12	C₂²×#108	—	2	4	no	—
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1855	—	2	8	no	—
24	#1851	—	2	4	no	—
25	#1850	—	2	4	no	—
26	#1848	—	2	8	no	—
27	#1810	—	2	4	no	—
28	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
30	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
33	#1728	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#108	—	2	32	no	—
57	C₂×#108	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	—	2	8	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	2	2	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	C₂×#108	—	2	8	no	—
66	C₂×#108	—	2	4	no	—
67	C₂×#108	—	4	4	no	—
68	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
69	#423	—	2	8	no	—
70	#423	—	4	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
72	#407	—	2	4	no	—
73	#407	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×#95	Q₈	1	2	yes	—
90	#341	—	2	4	no	—
91	#341	—	2	8	no	—
92	#336	—	2	8	no	—
93	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	#108	—	2	16	no	—
171	#108	—	2	16	no	—
172	#108	—	4	16	no	—
173	#108	—	4	4	no	—
174	#108	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
179	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
180	C₄×C₈	—	2	8	no	—
181	C₄×C₈	—	2	8	no	—
182	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
184	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	M₁₆	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	2	8	no	—
244	M₁₆	—	4	16	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	16	no	—
264	C₂×C₈	—	2	16	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	16	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
277	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
279	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	#108	1	8	yes	complemented
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	#384	1	2	yes	—
306	C₂³	#384	1	2	yes	—
307	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
312	C₂³	#554	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	#384	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#384	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#108	1	8	yes	complemented
340	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
358	C₈	—	2	8	no	—
359	C₈	—	2	4	no	—
360	C₈	—	4	8	no	—
361	C₈	—	8	2	no	—
362	C₈	—	8	2	no	—
363	C₈	#385	1	8	yes	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	#1848	1	4	yes	complemented
381	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
383	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2440	1	2	yes	—
385	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂²×#108	1	2	yes	—
387	C₂²	#2916	1	2	yes	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	8	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
394	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
395	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2440	1	2	yes	—
397	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
398	C₂	—	2	4	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	2	2	no	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	4	2	no	—
403	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#1848	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#20807	1	1	yes	characteristic
406	C₂	D₄×#108	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1848	C₂	semidirect
7. #11326	C₂	semidirect
8. #10864	C₂	semidirect
282. C₂²⋊C₄	#108	semidirect
339. C₂×C₄	C₂×#108	semidirect
380. C₂²	#1848	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#108	2
C₂×#1855	2
#20837	2
C₂×#1848	2
C₂×#1810	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
#11326	2
#10864	2