Subgroups — #360761

Order 512.

1368 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20890	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20858	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20803	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11333	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10871	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3428	C₂²	1	2	yes	—
11	#2913	—	2	2	no	—
12	#2913	—	2	2	no	—
13	#2912	—	2	4	no	—
14	#2911	—	2	2	no	—
15	#2911	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#427	—	2	2	no	—
18	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	#2317	C₂²	1	4	yes	—
25	#2311	C₂²	1	2	yes	—
26	#1867	—	2	8	no	—
27	#1857	—	2	4	no	—
28	#1856	—	2	4	no	—
29	#1847	—	2	4	no	—
30	#1846	—	2	2	no	—
31	#1845	—	2	2	no	—
32	#1809	—	2	2	no	—
33	#1808	—	2	2	no	—
34	#1757	C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
36	#1740	C₂²	1	4	yes	—
37	#1736	C₂²	1	2	yes	—
38	#1733	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#520	—	2	4	no	—
51	#520	—	2	4	no	—
52	#519	—	2	2	no	—
53	#518	—	2	4	no	—
54	#518	—	2	2	no	—
55	C₄×#41	—	4	4	no	—
56	C₂×#117	—	2	4	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	#428	—	2	8	no	—
62	#428	—	2	8	no	—
63	#428	—	2	4	no	—
64	#428	—	2	4	no	—
65	#428	—	2	8	no	—
66	#428	—	4	4	no	—
67	#427	—	2	4	no	—
68	#427	—	2	4	no	—
69	#427	—	2	2	no	—
70	#427	—	2	4	no	—
71	#427	—	2	2	no	—
72	#427	—	2	2	no	—
73	#427	—	2	2	no	—
74	#427	—	2	4	no	—
75	C₂×#107	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	2	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	—	2	1	no	—
79	C₂×#107	—	2	1	no	—
80	C₂×#107	—	2	2	no	—
81	C₂×#107	—	2	2	no	—
82	C₂×#107	—	2	4	no	—
83	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×#106	—	2	4	no	—
86	C₂×#106	—	2	1	no	—
87	C₂×#106	—	2	4	no	—
88	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
89	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#413	Q₈	1	4	yes	—
91	C₂×#101	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×#100	D₄	1	2	yes	—
93	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#410	Q₈	1	4	yes	—
95	C₂×#99	D₄	1	4	yes	—
96	#405	—	2	4	no	—
97	#405	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	C₂×#97	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#389	—	4	4	no	—
103	#386	—	2	4	no	—
104	#385	—	2	8	no	—
105	#384	—	2	4	no	—
106	#382	—	2	4	no	—
107	#380	—	2	4	no	—
108	#344	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
109	#342	—	2	8	no	—
110	#340	—	2	4	no	—
111	#339	—	2	8	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#131	—	2	8	no	—
127	#131	—	2	8	no	—
128	#131	—	2	8	no	—
129	#131	—	2	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
156	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	4	8	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	8	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	4	4	no	—
172	#117	—	4	4	no	—
173	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
195	#107	—	2	4	no	—
196	#107	—	2	4	no	—
197	#107	—	2	2	no	—
198	#107	—	2	2	no	—
199	#107	—	2	2	no	—
200	#107	—	2	2	no	—
201	#107	—	4	8	no	—
202	#107	—	4	1	no	—
203	#107	—	4	2	no	—
204	#107	—	4	1	no	—
205	#107	—	4	2	no	—
206	#106	—	2	8	no	—
207	#106	—	2	4	no	—
208	#106	—	2	4	no	—
209	#106	—	4	8	no	—
210	#106	—	4	2	no	—
211	#101	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
212	#100	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
213	#99	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
214	#97	—	2	8	no	—
215	C₄×C₈	—	2	8	no	—
216	#95	—	4	8	no	—
217	#95	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	2	4	no	—
226	#41	—	2	4	no	—
227	#41	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	16	no	—
272	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
285	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	16	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	4	8	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	4	1	no	—
322	C₂³	—	4	1	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	#384	1	4	yes	—
326	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
330	C₂³	#547	1	2	yes	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	4	no	—
333	D₄	—	2	8	no	—
334	D₄	—	2	8	no	—
335	D₄	—	2	4	no	—
336	D₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	—	16	4	no	—
358	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
377	C₈	—	2	8	no	—
378	C₈	—	2	4	no	—
379	C₈	#385	1	2	yes	—
380	C₈	#385	1	2	yes	—
381	C₈	#385	1	4	yes	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	1	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
396	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2440	1	2	yes	—
398	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	4	8	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
407	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
408	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#2440	1	2	yes	—
410	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	2	1	no	—
413	C₂	—	2	1	no	—
414	C₂	—	2	2	no	—
415	C₂	—	4	4	no	—
416	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#25799	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#25800	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20803	C₂	semidirect
7. #11333	C₂	semidirect
8. #10871	C₂	semidirect
34. #1757	C₄	semidirect
97. #405	C₂×C₄	semidirect
108. #344	C₂×C₄	semidirect
137. C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
147. C₂²×C₈	C₄⋊C₄	semidirect
211. #101	C₄⋊C₄	semidirect
212. #100	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60108	2
#20890	2
#20858	2
#20803	2
#20663	2
C₂×#1757	2
#11333	2
#10871	2