Subgroups — #360762

Order 512.

1299 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2916	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20892	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20860	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11334	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2916	—	2	4	no	—
12	#2916	—	2	4	no	—
13	C₂×#430	—	2	2	no	—
14	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#108	—	2	2	no	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
20	#2905	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2879	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
25	#1868	—	2	8	no	—
26	#1858	—	2	8	no	—
27	#1849	—	2	4	no	—
28	#1848	—	2	4	no	—
29	#1811	—	2	2	no	—
30	#1810	—	2	2	no	—
31	#1757	C₄	1	8	yes	—
32	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
34	#1738	C₂²	1	2	yes	—
35	#1738	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#568	—	2	8	no	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	4	4	no	—
44	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	#430	—	2	16	no	—
57	#430	—	2	8	no	—
58	#430	—	2	8	no	—
59	#430	—	4	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	8	no	—
61	C₂×#108	—	2	8	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	2	no	—
65	C₂×#108	—	2	2	no	—
66	C₂×#108	—	2	2	no	—
67	C₂×#108	—	2	8	no	—
68	C₂×#108	—	2	1	no	—
69	C₂×#108	—	2	1	no	—
70	C₂×#108	—	2	1	no	—
71	C₂×#108	—	2	1	no	—
72	C₂×#108	—	2	2	no	—
73	C₂×#108	—	2	2	no	—
74	C₂×#108	—	2	4	no	—
75	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
77	#424	—	2	8	no	—
78	#424	—	4	4	no	—
79	#423	—	2	8	no	—
80	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#413	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×#101	Q₈	1	2	yes	—
83	C₂×#100	Q₈	1	2	yes	—
84	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#410	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#99	Q₈	1	4	yes	—
87	#408	—	2	4	no	—
88	#408	—	2	4	no	—
89	#407	—	2	4	no	—
90	#405	—	2	4	no	—
91	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	#344	—	2	8	no	—
95	#344	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	#341	—	2	8	no	—
97	#341	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	#131	—	2	8	no	—
112	#131	—	2	8	no	—
113	#131	—	2	8	no	—
114	#131	—	2	8	no	—
115	#131	—	4	16	no	—
116	#131	—	4	16	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	#108	—	2	16	no	—
172	#108	—	2	4	no	—
173	#108	—	2	4	no	—
174	#108	—	2	4	no	—
175	#108	—	2	4	no	—
176	#108	—	4	16	no	—
177	#108	—	4	1	no	—
178	#108	—	4	1	no	—
179	#108	—	4	2	no	—
180	#108	—	4	2	no	—
181	#108	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
183	#101	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
184	#100	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
185	#99	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
187	#97	—	2	8	no	—
188	C₄×C₈	—	2	8	no	—
189	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	#41	—	2	4	no	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	2	4	no	—
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
229	M₁₆	—	2	4	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	16	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	4	16	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	2	no	—
241	M₁₆	—	4	2	no	—
242	M₁₆	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	4	16	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	8	1	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	#384	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
289	C₂³	#554	1	2	yes	—
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	D₄	—	2	8	no	—
293	D₄	—	2	8	no	—
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
323	C₈	—	2	8	no	—
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	4	8	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₈	—	8	2	no	—
328	C₈	#385	1	2	yes	—
329	C₈	#385	1	2	yes	—
330	C₈	#385	1	4	yes	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
342	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2440	1	2	yes	—
344	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	4	8	no	—
347	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
349	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
350	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2440	1	2	yes	—
352	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
353	C₂	—	2	2	no	—
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	2	1	no	—
356	C₂	—	2	1	no	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	4	4	no	—
359	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2433
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#13880
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20807	C₂	semidirect
7. #11334	C₂	semidirect
8. #10873	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2916	2
#20892	2
#20860	2
#20807	2
#20668	2
C₂×#1757	2
#11334	2
#10873	2