Subgroups — #360793

Order 512.

1246 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1838	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20627	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1750	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11269	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10734	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2905	—	2	4	no	—
13	#2905	—	2	4	no	—
14	C₂×#424	—	2	4	no	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1838	—	2	4	no	—
25	#1837	—	2	4	no	—
26	#1798	—	2	4	no	—
27	#1750	C₄	1	8	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#424	—	2	32	no	—
58	#423	—	2	4	no	—
59	#423	—	2	4	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	#423	D₄	1	4	yes	—
67	#423	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	#407	—	2	8	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	C₂×#97	—	2	2	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#341	—	2	8	no	—
85	#341	—	2	8	no	—
86	#341	—	4	4	no	—
87	#341	—	4	4	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	#117	—	2	8	no	—
148	#117	—	2	8	no	—
149	#117	—	2	8	no	—
150	#117	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
169	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
176	#97	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	2	8	no	—
178	C₂⁴	—	2	1	no	—
179	C₂⁴	—	2	1	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	#125	1	4	yes	—
184	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	2	8	no	—
228	M₁₆	—	4	16	no	—
229	M₁₆	—	4	4	no	—
230	M₁₆	—	4	4	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	4	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	16	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₄²	#120	1	4	yes	—
271	C₄²	#123	1	4	yes	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	#382	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
287	C₂³	#544	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
325	C₈	—	4	4	no	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	—	4	4	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₈	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2442	1	2	yes	—
345	C₂²	#2442	1	2	yes	—
346	C₂²	#2916	1	4	yes	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	#2352	1	2	yes	—
351	C₄	#2352	1	2	yes	—
352	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2503	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
356	C₂	—	2	2	no	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	4	4	no	—
359	C₂	#13881	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20768	1	2	yes	—
361	C₂	#20852	1	2	yes	—
362	C₂	#21995	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1838	C₂	semidirect
3. C₂×#1837	C₂	semidirect
6. #11269	C₂	semidirect
7. #10845	C₂	semidirect
8. #10844	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2905	2
C₂×#1838	2
C₂×#1837	2
#20627	2
C₂×#1750	2
#11269	2
#10845	2
#10844	2
#10734	2