Subgroups — #360804

Order 512.

1224 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20769	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20654	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11275	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10780	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2906	—	2	4	no	—
13	#2906	—	2	4	no	—
14	#2905	—	2	2	no	—
15	#2905	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	—	2	2	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1838	—	2	2	no	—
26	#1837	—	2	2	no	—
27	#1832	—	2	4	no	—
28	#1806	—	2	4	no	—
29	#1759	C₄	1	4	yes	complemented
30	#1759	C₄	1	4	yes	complemented
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	#1738	C₂²	1	4	yes	—
33	#1733	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	#1728	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#568	—	2	8	no	—
39	#568	—	4	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄×#41	—	2	2	no	—
48	C₄×#41	—	2	1	no	—
49	C₄×#41	—	2	1	no	—
50	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
56	C₂×#117	—	2	1	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#424	—	2	16	no	—
63	#424	—	2	4	no	—
64	#424	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	8	no	—
66	#423	—	2	4	no	—
67	#423	—	2	1	no	—
68	#423	—	2	1	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	1	no	—
73	#423	—	2	1	no	—
74	#423	D₄	1	2	yes	—
75	#423	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
80	#421	—	2	8	no	—
81	C₂×#104	—	2	4	no	—
82	C₂×#104	—	2	4	no	—
83	C₂×#104	—	2	4	no	—
84	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
87	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	#384	—	2	1	no	—
92	#382	—	2	1	no	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	#376	—	2	2	no	—
96	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×#95	—	2	2	no	—
99	#344	—	4	4	no	—
100	#341	—	2	8	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	—	4	4	no	—
103	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
104	#336	—	2	8	no	—
105	C₂×#41	—	2	1	no	—
106	C₂×#41	—	2	1	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
112	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#131	—	4	16	no	—
122	#131	—	4	8	no	—
123	#131	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	#117	—	2	1	no	—
162	#117	—	2	1	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
205	#104	—	2	16	no	—
206	#104	—	4	8	no	—
207	#97	—	2	2	no	—
208	#97	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	#95	—	4	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	1	no	—
215	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	2	no	—
218	#41	—	2	2	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	#117	1	8	yes	—
224	#41	#124	1	4	yes	—
225	#41	#124	1	4	yes	—
226	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×Q₈	#125	1	4	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	8	no	—
272	M₁₆	—	4	16	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	4	no	—
276	M₁₆	—	4	4	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	8	no	—
286	C₂×C₈	—	4	16	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
298	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	2	no	—
314	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	#120	1	2	yes	—
321	C₄²	#120	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	#552	1	2	yes	—
332	C₂³	#553	1	2	yes	—
333	Q₈	—	2	2	no	—
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	#382	1	4	yes	—
336	D₄	—	2	8	no	—
337	D₄	—	2	4	no	—
338	D₄	—	2	4	no	—
339	D₄	—	2	2	no	—
340	D₄	—	2	4	no	—
341	D₄	#382	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	4	4	no	—
388	C₈	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	4	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2352	1	2	yes	—
399	C₂²	#2442	1	2	yes	—
400	C₂²	#2503	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	2	no	—
407	C₄	—	4	4	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	—	16	2	no	—
410	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#2352	1	2	yes	—
413	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2442	1	2	yes	—
416	C₂	—	2	2	no	—
417	C₂	—	2	1	no	—
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	—	2	1	no	—
420	C₂	—	4	4	no	—
421	C₂	#13881	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#20867	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20769	C₂	semidirect
3. #20753	C₂	semidirect
6. #11275	C₂	semidirect
7. #10855	C₂	semidirect
8. #10840	C₂	semidirect
29. #1759	C₄	semidirect
30. #1759	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
#20769	2
#20753	2
#20654	2
C₂×#1759	2
#11275	2
#10855	2
#10840	2
#10780	2