Subgroups — #360825

Order 512.

1180 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2916	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1833	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11283	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10755	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10742	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2916	—	2	8	no	—
12	C₂×#430	—	2	2	no	—
13	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#108	—	2	2	no	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	#2311	C₂²	1	2	yes	—
22	#1833	—	2	8	no	—
23	#1809	—	2	2	no	—
24	#1807	—	2	2	no	—
25	#1757	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	#1736	C₂²	1	2	yes	—
30	#1736	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	#568	—	2	8	no	—
34	#568	—	2	4	no	—
35	#568	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	4	4	no	—
40	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	#430	—	2	16	no	—
53	#430	—	2	8	no	—
54	C₂×#108	—	2	16	no	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	4	no	—
57	C₂×#108	—	2	2	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
60	#427	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	1	no	—
62	C₂×#106	—	2	1	no	—
63	C₂×#106	—	2	1	no	—
64	C₂×#106	—	2	1	no	—
65	C₂×#106	—	2	2	no	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	#413	—	2	2	no	—
68	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#101	—	2	1	no	—
70	C₂×#100	—	2	1	no	—
71	#410	—	2	2	no	—
72	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#99	—	2	2	no	—
74	#405	—	2	4	no	—
75	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×#97	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	#391	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#386	—	2	4	no	—
81	#380	—	2	4	no	—
82	#344	—	2	8	no	—
83	#344	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#343	—	4	4	no	—
85	#340	—	2	4	no	—
86	#340	—	4	4	no	—
87	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
95	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	#131	—	2	8	no	—
103	#131	—	2	8	no	—
104	#131	—	2	8	no	—
105	#131	—	2	8	no	—
106	#131	—	4	16	no	—
107	#131	—	4	16	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	#108	—	2	16	no	—
163	#108	—	2	8	no	—
164	#108	—	2	8	no	—
165	#107	—	4	2	no	—
166	#106	—	4	2	no	—
167	#106	—	4	1	no	—
168	#106	—	4	1	no	—
169	#106	—	4	2	no	—
170	#101	—	2	4	no	—
171	#100	—	2	4	no	—
172	#99	—	2	8	no	—
173	#97	—	2	8	no	—
174	C₄×C₈	—	2	8	no	—
175	#95	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	2	4	no	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	2	4	no	—
183	#41	—	2	4	no	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
189	C₂×Q₈	#125	1	2	yes	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	#125	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
220	M₁₆	—	2	4	no	—
221	M₁₆	—	2	4	no	—
222	M₁₆	—	2	16	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	2	4	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	4	16	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	M₁₆	—	4	4	no	—
231	M₁₆	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	4	16	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	#382	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	#548	1	2	yes	—
278	C₂³	#553	1	2	yes	—
279	Q₈	—	2	4	no	—
280	Q₈	—	2	4	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	16	4	no	—
299	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₈	—	4	8	no	—
321	C₈	#385	1	2	yes	—
322	C₈	#385	1	2	yes	—
323	C₈	#385	1	4	yes	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	4	1	no	—
328	C₂²	—	4	1	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	8	2	no	—
333	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2352	1	2	yes	—
335	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2442	1	2	yes	—
337	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	—	16	2	no	—
341	C₄	—	16	2	no	—
342	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#2352	1	2	yes	—
345	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2442	1	2	yes	—
347	C₄	#2503	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	2	1	no	—
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	2	no	—
352	C₂	—	4	4	no	—
353	C₂	#13881	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#27987	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2504
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1833	C₂	semidirect
5. #11283	C₂	semidirect
6. #10869	C₂	semidirect
25. #1757	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2916	2
C₂×#1833	2
#20662	2
C₂×#1757	2
#11283	2
#10869	2
#10755	2
#10742	2