Subgroups — #36085

Order 256.

2499 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 229 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#547	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#2616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2434	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#2430	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#2409	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#2406	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#2388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#395	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2339	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#41	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
19	#547	—	2	24	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#123	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
29	#395	C₂²	1	2	yes	—
30	#395	C₂²	1	6	yes	—
31	#395	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#395	C₂²	1	6	yes	—
33	#395	C₂²	1	6	yes	—
34	#394	C₂²	1	6	yes	—
35	#394	C₂²	1	3	yes	—
36	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#393	C₂²	1	6	yes	—
38	#392	C₂²	1	3	yes	—
39	#391	C₂²	1	6	yes	—
40	#386	C₂²	1	12	yes	—
41	#386	C₂²	1	6	yes	—
42	#385	C₂²	1	6	yes	—
43	#385	C₂²	1	12	yes	—
44	#381	C₂²	1	6	yes	—
45	#380	C₂²	1	3	yes	—
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
47	C₂×#95	C₂²	1	6	yes	—
48	2₋¹⁺⁴	—	2	128	no	—
49	C₂×#41	—	2	48	no	—
50	C₂×#41	—	2	24	no	—
51	C₂×#41	—	2	12	no	—
52	C₂×#41	—	2	24	no	—
53	C₂×#41	—	2	12	no	—
54	C₂×#41	D₄	1	24	yes	complemented
55	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
56	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
57	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
58	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
73	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
74	#123	—	2	24	no	—
75	#123	—	2	24	no	—
76	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
78	#121	—	2	24	no	—
79	C₄×D₄	—	2	12	no	—
80	C₄×D₄	—	2	12	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
96	#95	C₂³	1	3	yes	—
97	#95	C₂³	1	6	yes	—
98	#95	C₂³	1	12	yes	—
99	#95	C₂³	1	3	yes	—
100	#95	C₂³	1	12	yes	—
101	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
103	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
104	#41	—	2	192	no	—
105	#41	—	2	32	no	—
106	#41	—	2	96	no	—
107	#41	—	4	16	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
115	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
116	C₂×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂×D₄	—	2	24	no	—
118	C₂×D₄	—	2	6	no	—
119	C₂×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂×D₄	—	2	6	no	—
121	C₂×D₄	—	2	6	no	—
122	C₂×D₄	—	4	3	no	—
123	C₂×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
124	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
125	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
157	C₄²	—	2	6	no	—
158	C₂³	—	2	6	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	—	2	6	no	—
161	C₂³	—	2	6	no	—
162	C₂³	—	2	3	no	—
163	C₂³	—	2	3	no	—
164	C₂³	—	2	3	no	—
165	C₂³	—	2	3	no	—
166	C₂³	—	2	1	no	—
167	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
168	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
169	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
170	Q₈	—	2	48	no	—
171	Q₈	—	2	8	no	—
172	Q₈	—	2	24	no	—
173	Q₈	—	4	4	no	—
174	D₄	—	2	24	no	—
175	D₄	—	2	48	no	—
176	D₄	—	4	12	no	—
177	D₄	—	4	8	no	—
178	D₄	#120	1	16	yes	—
179	C₂×C₄	—	2	48	no	—
180	C₂×C₄	—	2	48	no	—
181	C₂×C₄	—	2	3	no	—
182	C₂×C₄	—	2	12	no	—
183	C₂×C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄	—	2	3	no	—
185	C₂×C₄	—	2	24	no	—
186	C₂×C₄	—	2	3	no	—
187	C₂×C₄	—	2	6	no	—
188	C₂×C₄	—	2	3	no	—
189	C₂×C₄	—	2	6	no	—
190	C₂×C₄	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₄	—	2	6	no	—
193	C₂×C₄	—	4	24	no	—
194	C₂×C₄	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
199	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	6	yes	complemented
200	C₂²	—	2	12	no	—
201	C₂²	—	2	12	no	—
202	C₂²	—	2	6	no	—
203	C₂²	—	2	6	no	—
204	C₂²	—	2	6	no	—
205	C₂²	—	4	6	no	—
206	C₂²	—	4	6	no	—
207	C₂²	—	4	1	no	—
208	C₂²	—	4	3	no	—
209	C₂²	—	4	3	no	—
210	C₂²	C₂×#120	1	8	yes	—
211	C₂²	C₂³×D₄	1	3	yes	—
212	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	3	yes	—
213	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
214	C₄	—	2	12	no	—
215	C₄	—	2	6	no	—
216	C₄	—	2	6	no	—
217	C₄	—	4	1	no	—
218	C₄	—	4	2	no	—
219	C₄	—	4	6	no	—
220	C₄	—	4	3	no	—
221	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
222	C₂	—	2	8	no	—
223	C₂	—	4	6	no	—
224	C₂	—	8	1	no	—
225	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
226	C₂	#3489	1	3	yes	—
227	C₂	#3499	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	semidirect
2. C₂×#547	C₂	semidirect
3. #2616	C₂	semidirect
4. #2614	C₂	semidirect
5. #2434	C₂	semidirect
6. #2430	C₂	semidirect
7. #2409	C₂	semidirect
8. #2406	C₂	semidirect
9. #2388	C₂	semidirect
10. C₂×#395	C₂	semidirect
11. #2339	C₂	semidirect
54. C₂×#41	D₄	semidirect
199. C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#547	2
#2616	2
#2614	2
#2434	2
#2430	2
#2409	2
#2406	2
#2388	2
C₂×#395	2
#2339	2