Subgroups — D₄×#124 #36104

Order 256.

1787 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2491	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2472	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
19	D₄²	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#124	—	2	16	no	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#124	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
68	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
91	#127	—	2	4	no	—
92	#124	—	2	8	no	—
93	#124	—	2	8	no	—
94	#124	—	2	32	no	—
95	#124	—	2	8	no	—
96	#124	—	4	4	no	—
97	#124	D₄	1	8	yes	direct product factor
98	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
100	#121	—	2	8	no	—
101	#121	—	2	8	no	—
102	#120	—	2	16	no	—
103	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₄×D₄	—	2	8	no	—
105	C₄×D₄	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	8	yes	—
143	C₂⁴	—	2	8	no	—
144	C₂⁴	—	2	8	no	—
145	C₂⁴	—	2	16	no	—
146	C₂⁴	—	4	4	no	—
147	C₂⁴	—	4	8	no	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
160	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
161	C₂×D₄	—	2	8	no	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	16	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	32	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	32	no	—
177	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
221	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
222	C₄²	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	4	2	no	—
228	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	8	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	8	no	—
242	C₂³	—	4	16	no	—
243	C₂³	—	4	32	no	—
244	C₂³	—	4	16	no	—
245	C₂³	—	8	8	no	—
246	C₂³	—	8	16	no	—
247	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
250	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	2	8	no	—
252	Q₈	—	4	16	no	—
253	Q₈	—	4	8	no	—
254	D₄	—	2	8	no	—
255	D₄	—	4	16	no	—
256	D₄	—	4	16	no	—
257	D₄	—	4	8	no	—
258	D₄	—	4	8	no	—
259	D₄	—	8	4	no	—
260	D₄	#124	1	16	yes	direct product factor
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	4	16	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	8	no	—
296	C₂²	—	2	4	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	8	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	8	no	—
308	C₂²	—	8	32	no	—
309	C₂²	C₂×#124	1	8	yes	complemented
310	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#585	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	4	4	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	C₂×#124	1	4	yes	complemented
325	C₄	D₄²	1	4	yes	—
326	C₂	—	2	8	no	—
327	C₂	—	4	4	no	—
328	C₂	—	8	4	no	—
329	C₂	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
330	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
331	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
332	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#3514	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×D₄²	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
3. C₂²×#124	C₂	semidirect
4. #2858	C₂	semidirect
5. #2850	C₂	semidirect
6. #2548	C₂	semidirect
7. #2547	C₂	semidirect
8. #2491	C₂	semidirect
9. #2472	C₂	semidirect
10. #2436	C₂	semidirect
11. #2435	C₂	semidirect
12. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
13. C₄×#124	C₂	semidirect
14. C₄²×D₄	C₂	semidirect
15. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
20. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#124	C₂²	semidirect
27. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×#124	C₂²	semidirect
29. C₂×#124	C₂²	semidirect
30. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
40. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
41. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
42. #397	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
44. #394	C₂²	semidirect
45. #393	C₂²	semidirect
46. #391	C₂²	semidirect
47. #391	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #390	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #386	C₂²	semidirect
56. #386	C₂²	semidirect
57. #382	C₂²	semidirect
58. #380	C₂²	semidirect
59. #379	C₂²	semidirect
60. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
61. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
62. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₄³	C₂²	semidirect
97. #124	D₄	direct (N × H)
160. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
221. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
229. C₄²	C₂×D₄	semidirect
260. D₄	#124	direct (N × H)
309. C₂²	C₂×#124	semidirect
324. C₄	C₂×#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×D₄²	2
C₂²×#124	2
#2858	2
#2850	2
#2548	2
#2547	2
#2491	2
#2472	2
#2436	2
#2435	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
C₄×#124	2
C₄²×D₄	2

Subgroups — D4×#124 #36104

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — D₄×#124 #36104