Subgroups — #36152

Order 256.

3808 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 269 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#546	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2435	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#2410	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#2408	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#2405	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₄×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂⁶	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#546	—	2	24	no	—
20	C₂×#124	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	6	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
23	C₂×#121	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#394	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#394	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
35	#390	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#386	C₂²	1	3	yes	complemented
37	#386	C₂²	1	12	yes	complemented
38	#385	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#385	C₂²	1	3	yes	complemented
40	#380	C₂²	1	3	yes	complemented
41	#379	C₂²	1	2	yes	—
42	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#379	C₂²	1	6	yes	complemented
44	#379	C₂²	1	6	yes	complemented
45	#379	C₂²	1	6	yes	complemented
46	#379	C₂²	1	6	yes	complemented
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
48	C₂⁵	—	2	24	no	—
49	C₂⁵	—	2	8	no	—
50	C₂⁵	—	4	12	no	—
51	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁵	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂⁵	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂×#41	—	2	12	no	—
55	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
56	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
62	C₂²×D₄	D₄	1	24	yes	complemented
63	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
69	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	complemented
70	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
76	#124	—	2	12	no	—
77	#123	—	2	24	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
79	#121	—	2	12	no	—
80	#121	—	2	24	no	—
81	#120	—	2	24	no	—
82	#120	—	2	4	no	—
83	#120	—	4	12	no	—
84	C₄×D₄	—	2	12	no	—
85	C₄×D₄	—	2	12	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	complemented
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	complemented
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	complemented
103	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	complemented
104	#95	C₂³	1	6	yes	complemented
105	#95	C₂³	1	6	yes	complemented
106	C₂⁴	—	2	6	no	—
107	C₂⁴	—	2	6	no	—
108	C₂⁴	—	2	64	no	—
109	C₂⁴	—	2	24	no	—
110	C₂⁴	—	2	24	no	—
111	C₂⁴	—	2	12	no	—
112	C₂⁴	—	2	12	no	—
113	C₂⁴	—	2	12	no	—
114	C₂⁴	—	2	12	no	—
115	C₂⁴	—	2	12	no	—
116	C₂⁴	—	4	12	no	—
117	C₂⁴	—	4	12	no	—
118	C₂⁴	—	4	96	no	—
119	C₂⁴	—	4	96	no	—
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	24	yes	—
121	C₂⁴	#41	1	4	yes	complemented
122	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂⁴	C₂⁴	1	6	yes	—
124	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
126	#41	—	4	16	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
128	C₂×D₄	—	2	192	no	—
129	C₂×D₄	—	2	96	no	—
130	C₂×D₄	—	2	24	no	—
131	C₂×D₄	—	2	24	no	—
132	C₂×D₄	—	2	96	no	—
133	C₂×D₄	—	2	6	no	—
134	C₂×D₄	—	2	12	no	—
135	C₂×D₄	—	2	6	no	—
136	C₂×D₄	—	2	6	no	—
137	C₂×D₄	—	2	12	no	—
138	C₂×D₄	—	2	12	no	—
139	C₂×D₄	—	2	12	no	—
140	C₂×D₄	—	4	12	no	—
141	C₂×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
142	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
143	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
144	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
175	C₄²	—	2	6	no	—
176	C₂³	—	2	8	no	—
177	C₂³	—	2	24	no	—
178	C₂³	—	2	24	no	—
179	C₂³	—	2	6	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	6	no	—
182	C₂³	—	2	6	no	—
183	C₂³	—	2	48	no	—
184	C₂³	—	2	48	no	—
185	C₂³	—	2	48	no	—
186	C₂³	—	2	12	no	—
187	C₂³	—	2	6	no	—
188	C₂³	—	2	6	no	—
189	C₂³	—	2	12	no	—
190	C₂³	—	2	3	no	—
191	C₂³	—	2	1	no	—
192	C₂³	—	2	3	no	—
193	C₂³	—	4	24	no	—
194	C₂³	—	4	48	no	—
195	C₂³	—	4	48	no	—
196	C₂³	—	4	48	no	—
197	C₂³	—	4	48	no	—
198	C₂³	—	4	256	no	—
199	C₂³	—	4	24	no	—
200	C₂³	—	4	24	no	—
201	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
202	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
203	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
204	C₂³	C₂×#41	1	6	yes	—
205	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
206	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
207	Q₈	—	4	4	no	—
208	D₄	—	2	48	no	—
209	D₄	—	2	48	no	—
210	D₄	—	2	24	no	—
211	D₄	—	4	8	no	—
212	D₄	—	4	12	no	—
213	D₄	—	8	12	no	—
214	D₄	#120	1	16	yes	complemented
215	C₂×C₄	—	2	24	no	—
216	C₂×C₄	—	2	6	no	—
217	C₂×C₄	—	2	24	no	—
218	C₂×C₄	—	2	3	no	—
219	C₂×C₄	—	2	3	no	—
220	C₂×C₄	—	2	6	no	—
221	C₂×C₄	—	2	3	no	—
222	C₂×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂×C₄	—	2	3	no	—
224	C₂×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂×C₄	—	2	12	no	—
226	C₂×C₄	—	2	3	no	—
227	C₂×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄	—	8	12	no	—
230	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
231	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
232	C₂²	—	2	32	no	—
233	C₂²	—	2	6	no	—
234	C₂²	—	2	12	no	—
235	C₂²	—	2	12	no	—
236	C₂²	—	2	12	no	—
237	C₂²	—	2	6	no	—
238	C₂²	—	2	12	no	—
239	C₂²	—	2	12	no	—
240	C₂²	—	2	12	no	—
241	C₂²	—	2	12	no	—
242	C₂²	—	4	96	no	—
243	C₂²	—	4	96	no	—
244	C₂²	—	4	12	no	—
245	C₂²	—	4	12	no	—
246	C₂²	—	4	1	no	—
247	C₂²	—	4	3	no	—
248	C₂²	—	4	3	no	—
249	C₂²	C₂×#120	1	8	yes	—
250	C₂²	#546	1	12	yes	complemented
251	C₂²	C₂³×D₄	1	3	yes	—
252	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
254	C₄	—	2	6	no	—
255	C₄	—	4	1	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	—	4	3	no	—
258	C₄	—	4	3	no	—
259	C₄	—	4	6	no	—
260	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
261	C₂	—	2	12	no	—
262	C₂	—	2	8	no	—
263	C₂	—	4	12	no	—
264	C₂	—	8	1	no	—
265	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
266	C₂	C₂×#546	1	3	yes	—
267	C₂	#3484	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×D₄	C₂	semidirect
2. C₂×#546	C₂	semidirect
3. #2848	C₂	semidirect
4. #2846	C₂	semidirect
5. #2435	C₂	semidirect
6. #2410	C₂	semidirect
7. #2408	C₂	semidirect
8. #2405	C₂	semidirect
9. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₄×#120	C₂	semidirect
11. C₂×#379	C₂	semidirect
13. C₂²×#41	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
21. C₂×#123	C₂²	semidirect
22. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#121	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
31. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
32. #394	C₂²	semidirect
33. #394	C₂²	semidirect
34. #392	C₂²	semidirect
35. #390	C₂²	semidirect
36. #386	C₂²	semidirect
37. #386	C₂²	semidirect
38. #385	C₂²	semidirect
39. #385	C₂²	semidirect
40. #380	C₂²	semidirect
43. #379	C₂²	semidirect
44. #379	C₂²	semidirect
45. #379	C₂²	semidirect
46. #379	C₂²	semidirect
47. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
55. C₂²×Q₈	C₂³	semidirect
62. C₂²×D₄	D₄	semidirect
68. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
69. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
73. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
74. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
75. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
86. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
87. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
88. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
96. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
97. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
98. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
99. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
100. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
101. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
102. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
103. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
104. #95	C₂³	semidirect
105. #95	C₂³	semidirect
121. C₂⁴	#41	semidirect
214. D₄	#120	semidirect
250. C₂²	#546	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₄	2
C₂×#546	2
#2848	2
#2846	2
#2435	2
#2410	2
#2408	2
#2405	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
C₄×#120	2
C₂×#379	2