Subgroups — #361577

Order 512.

4022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1956	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1787	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11010	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#103	C₂²	1	16	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#380	—	2	2	no	—
21	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
22	#1956	—	2	16	no	—
23	#1787	—	2	16	no	—
24	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
29	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
30	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
33	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
34	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
37	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#103	—	2	32	no	—
65	C₂×#103	—	2	32	no	—
66	C₂×#103	—	4	16	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	#384	—	2	8	no	—
73	#380	—	2	8	no	—
74	#380	—	4	8	no	—
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
82	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
97	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
111	C₂³×C₄	SD₁₆	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	Q₁₆	1	8	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
131	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	#103	—	4	64	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
157	C₄×C₈	—	4	8	no	—
158	#95	—	4	4	no	—
159	#95	—	4	8	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
165	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
167	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
186	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	#103	1	32	yes	complemented
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	16	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	16	no	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
250	C₄²	#120	1	8	yes	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	#390	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×#103	1	8	yes	—
264	C₂³	#487	1	8	yes	—
265	C₂³	#492	1	4	yes	—
266	C₂³	#494	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#535	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
275	Q₈	—	2	32	no	—
276	Q₈	—	4	64	no	—
277	Q₈	—	4	16	no	—
278	Q₈	—	4	32	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	16	no	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	64	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	4	64	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	8	no	—
300	C₂×C₄	—	8	8	no	—
301	C₂×C₄	#379	1	8	yes	—
302	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#103	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#103	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	#419	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	#448	1	16	yes	—
307	C₂×C₄	#451	1	16	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	D₄²	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
316	C₈	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	8	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	#1956	1	8	yes	complemented
325	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2433	1	2	yes	—
329	C₂²	#2435	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂²×#103	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#419	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×#448	1	4	yes	—
333	C₂²	C₂×#451	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×#487	1	2	yes	—
335	C₂²	#3139	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3152	1	2	yes	—
339	C₂²	#3206	1	4	yes	—
340	C₂²	#3209	1	4	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	8	no	—
343	C₄	—	4	16	no	—
344	C₄	—	16	4	no	—
345	C₄	#1787	1	16	yes	complemented
346	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
347	C₄	#2408	1	4	yes	—
348	C₂	—	2	8	no	—
349	C₂	#13902	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂×#1787	1	2	yes	—
351	C₂	C₂×#1956	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#21202	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#21804	1	2	yes	—
354	C₂	#25718	1	2	yes	—
355	C₂	#25722	1	2	yes	—
356	C₂	#25856	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1956	C₂	semidirect
6. #11010	C₂	semidirect
11. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
131. C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
216. C₂²×C₄	#103	semidirect
324. C₂²	#1956	semidirect
345. C₄	#1787	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1956	2
C₂×#1787	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#14686	2
#11010	2