Subgroups — #36163

Order 256.

1404 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#552	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	2	yes	maximal
4	#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2484	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2481	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2473	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2442	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2352	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₄×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
17	#2280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	#552	—	2	8	no	—
21	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#386	C₂²	1	2	yes	—
62	#385	C₂²	1	2	yes	—
63	#385	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	—
66	#385	C₂²	1	2	yes	—
67	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#381	C₂²	1	2	yes	—
70	#381	C₂²	1	2	yes	—
71	#381	C₂²	1	2	yes	—
72	#381	C₂²	1	2	yes	—
73	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#380	C₂²	1	2	yes	—
75	#380	C₂²	1	4	yes	—
76	#380	C₂²	1	4	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#379	C₂²	1	2	yes	—
79	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
85	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	#126	—	2	8	no	—
104	#125	—	2	8	no	—
105	#125	—	2	4	no	—
106	#123	—	2	8	no	—
107	#123	—	4	4	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
111	#120	—	2	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	#117	—	2	8	no	—
116	#117	—	2	4	no	—
117	#117	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	2	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	2	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
181	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
249	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	16	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	16	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
291	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
342	C₂²	—	2	32	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	#546	1	4	yes	—
359	C₂²	#552	1	8	yes	complemented
360	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	4	1	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	#525	1	4	yes	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	2	8	no	—
381	C₂	—	8	1	no	—
382	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
384	C₂	C₂×#552	1	2	yes	—
385	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#3492	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#120	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#552	C₂	semidirect
2. C₂³×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #2848	C₂	semidirect
5. #2503	C₂	semidirect
6. #2486	C₂	semidirect
7. #2484	C₂	semidirect
8. #2481	C₂	semidirect
9. #2473	C₂	semidirect
10. #2442	C₂	semidirect
11. #2417	C₂	semidirect
12. #2413	C₂	semidirect
13. #2360	C₂	semidirect
14. #2352	C₂	semidirect
15. #2344	C₂	semidirect
17. #2280	C₂	semidirect
21. C₂×#126	C₂²	semidirect
22. C₂×#125	C₂²	semidirect
23. C₂×#125	C₂²	semidirect
28. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
35. C₂×#117	C₂²	semidirect
43. #400	C₂²	semidirect
44. #400	C₂²	semidirect
45. #398	C₂²	semidirect
46. #398	C₂²	semidirect
47. #398	C₂²	semidirect
48. #397	C₂²	semidirect
49. #396	C₂²	semidirect
50. #391	C₂²	semidirect
51. #389	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #389	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #387	C₂²	semidirect
56. #387	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
68. #382	C₂²	semidirect
77. #380	C₂²	semidirect
80. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
123. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
359. C₂²	#552	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#552	2
C₂³×C₄⋊C₄	2
#2849	2
#2848	2
#2503	2
#2486	2
#2484	2
#2481	2
#2473	2
#2442	2
#2417	2
#2413	2
#2360	2
#2352	2
#2344	2
C₄×#120	2
#2280	2