Subgroups — #361807

Order 512.

2130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1817	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11346	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10834	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#95	C₄	1	2	yes	—
22	#1817	—	2	16	no	—
23	#1797	—	2	4	no	—
24	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₈	1	8	yes	complemented
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂×#95	—	2	8	no	—
73	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#336	—	2	32	no	—
76	#336	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
154	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
157	C₄×C₈	—	4	8	no	—
158	#95	—	2	8	no	—
159	#95	—	2	8	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
166	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
168	C₂⁴	#131	1	4	yes	—
169	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	16	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	8	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	4	8	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	4	4	no	—
255	C₄²	—	4	16	no	—
256	C₄²	#123	1	8	yes	—
257	C₄²	#123	1	8	yes	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	#390	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
272	C₂³	#408	1	4	yes	—
273	C₂³	C₈×D₄	1	8	yes	—
274	C₂³	#436	1	8	yes	—
275	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
278	C₂³	#519	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
283	C₂³	#568	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	32	no	—
295	C₂×C₄	—	2	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	16	no	—
306	C₂×C₄	—	4	32	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	32	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#431	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	#432	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#547	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	#552	1	8	yes	—
332	C₈	—	4	8	no	—
333	C₈	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	16	no	—
337	C₂²	—	2	16	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	#1954	1	8	yes	—
343	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2344	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#431	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#432	1	2	yes	—
353	C₂²	#2924	1	4	yes	—
354	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#436	1	2	yes	—
356	C₂²	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
357	C₂²	#2982	1	2	yes	—
358	C₂²	#2983	1	2	yes	—
359	C₂²	#2984	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	#1817	1	8	yes	complemented
367	C₄	#2486	1	4	yes	—
368	C₄	#2501	1	2	yes	—
369	C₄	#2503	1	2	yes	—
370	C₂	—	2	8	no	—
371	C₂	#13904	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#1817	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20685	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#1954	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#21818	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#21820	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#22599	1	4	yes	—
379	C₂	#22603	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₈
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11346	C₂	semidirect
6. #10834	C₂	semidirect
39. C₂²×C₄⋊C₄	C₈	semidirect
366. C₄	#1817	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#1817	2
C₂×#1797	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#11346	2
#10834	2