Subgroups — #361916

Order 512.

2038 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 401 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1800	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10981	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#127	—	2	2	no	—
16	C₄×#127	—	2	2	no	—
17	C₄×#127	—	2	1	no	—
18	C₄×#127	—	2	1	no	—
19	C₄×#127	—	2	1	no	—
20	C₄×#127	—	2	1	no	—
21	C₂×#390	C₄	1	4	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1831	—	2	2	no	—
26	#1831	—	2	2	no	—
27	#1800	—	2	16	no	—
28	#1767	—	2	1	no	—
29	#1767	—	2	1	no	—
30	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	#1728	C₂²	1	2	yes	—
35	#1728	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×#127	—	2	8	no	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	4	16	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	2	8	no	—
67	#423	D₄	1	8	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×#100	—	2	16	no	—
73	C₂×#100	—	2	16	no	—
74	C₂×#100	—	4	8	no	—
75	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	4	no	—
82	#390	—	2	4	no	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	1	no	—
86	#384	—	2	2	no	—
87	#384	—	2	1	no	—
88	C₄³	D₄	1	2	yes	—
89	C₄³	D₄	1	2	yes	—
90	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#343	—	2	16	no	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	#127	—	2	16	no	—
134	#127	—	2	8	no	—
135	#127	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	4	16	no	—
137	C₄×D₄	—	4	16	no	—
138	C₄×D₄	—	4	16	no	—
139	C₄×D₄	—	4	16	no	—
140	C₄×D₄	—	4	8	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
184	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	#100	—	4	32	no	—
189	#97	—	4	4	no	—
190	C₄×C₈	—	4	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	4	8	no	—
196	C₂⁴	—	4	8	no	—
197	C₂⁴	#117	1	8	yes	—
198	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×D₄	—	2	16	no	—
200	C₂×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	64	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
255	M₁₆	—	2	16	no	—
256	M₁₆	—	4	8	no	—
257	M₁₆	—	4	8	no	—
258	M₁₆	—	4	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	1	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	—	4	2	no	—
289	C₄²	#100	1	8	yes	complemented
290	C₄²	#121	1	4	yes	—
291	C₄²	#121	1	4	yes	—
292	C₄²	#124	1	2	yes	—
293	C₄²	#124	1	2	yes	—
294	C₄²	#127	1	2	yes	—
295	C₄²	#127	1	2	yes	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	16	no	—
300	C₂³	—	4	16	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	8	8	no	—
308	C₂³	—	8	16	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₂³	#520	1	2	yes	—
314	D₄	—	4	32	no	—
315	D₄	—	4	32	no	—
316	D₄	—	4	8	no	—
317	D₄	—	4	8	no	—
318	D₄	—	4	8	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	16	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	16	no	—
339	C₂×C₄	—	8	16	no	—
340	C₂×C₄	—	8	8	no	—
341	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#552	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
361	C₈	—	4	8	no	—
362	C₈	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	4	8	no	—
368	C₂²	—	4	16	no	—
369	C₂²	—	8	16	no	—
370	C₂²	—	8	16	no	—
371	C₂²	—	8	8	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2352	1	4	yes	—
378	C₂²	C₂²×#100	1	2	yes	—
379	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	4	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	#1965	1	4	yes	—
389	C₄	#2535	1	2	yes	—
390	C₄	#2536	1	2	yes	—
391	C₄	#2540	1	2	yes	—
392	C₄	#2562	1	2	yes	—
393	C₂	—	2	4	no	—
394	C₂	—	8	8	no	—
395	C₂	#13905	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#20726	1	2	yes	—
397	C₂	C₂×#1965	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#21218	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#21878	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20752	C₂	semidirect
3. C₂×#1800	C₂	semidirect
4. C₄×#423	C₂	semidirect
5. #11354	C₂	semidirect
7. #10962	C₂	semidirect
67. #423	D₄	semidirect
289. C₄²	#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
#20752	2
C₂×#1800	2
C₄×#423	2
#11354	2
#10981	2
#10962	2