Subgroups — #361938

Order 512.

1526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1838	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11366	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11027	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10943	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#442	—	2	4	no	—
12	C₂×#442	—	2	4	no	—
13	C₂×#442	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1838	—	2	4	no	—
24	#1804	—	2	4	no	—
25	#1802	—	2	4	no	—
26	#1800	—	2	8	no	—
27	#1771	—	2	4	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#442	—	2	32	no	—
57	C₂×#106	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	—	2	4	no	—
63	#423	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	#418	—	2	8	no	—
68	#418	—	4	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#100	—	2	8	no	—
74	C₂×#100	—	2	8	no	—
75	C₂×#100	—	4	4	no	—
76	#405	—	4	4	no	—
77	C₂×#97	—	2	2	no	—
78	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	#384	D₄	1	2	yes	—
83	#382	D₄	1	2	yes	—
84	#380	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	#343	—	2	8	no	—
87	#341	—	2	4	no	—
88	#341	—	2	4	no	—
89	#340	—	2	8	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
105	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
112	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×D₈	—	2	8	no	—
115	C₂×D₈	—	2	8	no	—
116	C₂×D₈	—	2	16	no	—
117	C₂×D₈	—	2	16	no	—
118	C₂×D₈	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₄×D₄	—	2	8	no	—
142	C₄×D₄	—	2	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	2	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	#106	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
176	#102	—	2	16	no	—
177	#102	—	4	16	no	—
178	#100	—	4	16	no	—
179	#97	—	4	4	no	—
180	#97	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
181	C₄×C₈	—	4	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	4	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	8	4	no	—
191	C₂⁴	—	8	4	no	—
192	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	#117	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
247	D₈	—	2	32	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
282	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₄²	#121	1	4	yes	—
285	C₄²	#127	1	2	yes	—
286	C₄²	#127	1	2	yes	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	4	no	—
297	C₂³	—	8	8	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	—	8	4	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	8	8	no	—
302	C₂³	—	8	8	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	4	no	—
305	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#552	1	2	yes	—
309	C₂³	#553	1	2	yes	—
310	D₄	—	2	8	no	—
311	D₄	—	2	8	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	16	no	—
326	C₂×C₄	—	8	16	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
350	C₈	—	2	4	no	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	8	8	no	—
360	C₂²	—	8	8	no	—
361	C₂²	—	8	8	no	—
362	C₂²	—	8	8	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	8	no	—
367	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2352	1	2	yes	—
369	C₂²	#2535	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2536	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2562	1	2	yes	—
372	C₂²	#3068	1	4	yes	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2352	1	2	yes	—
380	C₄	#2535	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2540	1	2	yes	—
383	C₂	—	2	2	no	—
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	8	8	no	—
386	C₂	#13905	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#21249	1	2	yes	—
388	C₂	#28177	1	2	yes	—
389	C₂	#28220	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1838	C₂	semidirect
3. #20646	C₂	semidirect
4. C₂×#1800	C₂	semidirect
5. #20438	C₂	semidirect
6. #11366	C₂	semidirect
8. #10943	C₂	semidirect
13. C₂×#442	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#442	2
C₂×#1838	2
#20646	2
C₂×#1800	2
#20438	2
#11366	2
#11027	2
#10943	2