Subgroups — #361958

Order 512.

2246 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1957	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1804	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11051	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×#127	—	2	4	no	—
15	C₄×#127	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#390	—	2	2	no	—
17	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1957	—	2	8	no	—
24	#1804	—	2	16	no	—
25	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
29	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×#127	—	2	2	no	—
35	C₂×#127	—	2	2	no	—
36	C₂×#127	—	2	2	no	—
37	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
39	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	4	16	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×#102	—	2	16	no	—
61	C₂×#102	—	2	16	no	—
62	C₂×#102	—	4	8	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	#390	—	2	16	no	—
67	#390	—	2	4	no	—
68	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#384	—	2	2	no	—
70	#384	—	2	4	no	—
71	#384	—	2	4	no	—
72	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#382	—	2	8	no	—
74	#382	—	4	4	no	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₄³	D₄	1	4	yes	—
80	#340	—	2	16	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	C₂⁵	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
95	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	#127	—	2	8	no	—
117	#127	—	2	8	no	—
118	#127	—	2	8	no	—
119	#127	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
120	C₄×D₄	—	2	32	no	—
121	C₄×D₄	—	4	64	no	—
122	C₄×D₄	—	4	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
159	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
160	#102	—	4	32	no	—
161	C₄×C₈	—	4	8	no	—
162	#95	—	4	8	no	—
163	#95	—	4	4	no	—
164	#95	—	4	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	—	4	8	no	—
173	C₂⁴	—	4	8	no	—
174	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	32	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	16	no	—
192	C₂×D₄	—	4	16	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	32	no	—
195	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	16	no	—
255	C₄²	—	2	16	no	—
256	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₄²	#117	1	4	yes	—
258	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
259	C₄²	#121	1	4	yes	—
260	C₄²	#121	1	8	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	4	16	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	8	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
288	D₄	—	2	16	no	—
289	D₄	—	4	64	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	32	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#416	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#463	1	16	yes	—
320	C₂×C₄	#478	1	16	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	16	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	8	no	—
343	C₂²	—	8	8	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	8	no	—
347	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#463	1	4	yes	—
357	C₂²	C₂×#478	1	4	yes	—
358	C₂²	#3131	1	2	yes	—
359	C₂²	#3138	1	2	yes	—
360	C₂²	#3147	1	2	yes	—
361	C₂²	#3151	1	2	yes	—
362	C₂²	#3207	1	4	yes	—
363	C₂²	#3228	1	4	yes	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	—	16	4	no	—
369	C₄	#1804	1	16	yes	complemented
370	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
371	C₄	#2354	1	2	yes	—
372	C₄	#2537	1	2	yes	—
373	C₄	#2538	1	2	yes	—
374	C₂	—	8	8	no	—
375	C₂	#13906	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#1804	1	2	yes	—
377	C₂	#21195	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#21863	1	2	yes	—
380	C₂	#28443	1	2	yes	—
381	C₂	#28514	1	2	yes	—
382	C₂	#28718	1	2	yes	—
383	C₂	#29143	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1804	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
5. #14687	C₂	semidirect
6. #11051	C₂	semidirect
7. #10841	C₂	semidirect
15. C₄×#127	C₄	semidirect
59. C₂×C₄⋊C₈	D₄	semidirect
369. C₄	#1804	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
C₂×#1957	2
C₂×#1804	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#14687	2
#11051	2
#10841	2