Subgroups — #362011

Order 512.

1894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1807	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13906	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11095	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×D₄	—	2	4	no	—
11	C₂×C₈×D₄	—	2	4	no	—
12	C₂×C₈×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#390	—	2	2	no	—
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#1844	—	2	4	no	—
24	#1807	—	2	16	no	—
25	C₄×#106	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
28	#1439	—	2	4	no	—
29	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
33	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₈×D₄	—	2	32	no	—
56	C₂×#106	—	2	4	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	8	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#106	—	4	4	no	—
62	C₂×#106	D₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
72	#390	—	4	8	no	—
73	#384	—	2	4	no	—
74	#384	—	2	4	no	—
75	#380	—	2	16	no	—
76	#380	—	4	8	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	—	2	8	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	#340	—	2	4	no	—
82	#340	—	2	16	no	—
83	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×D₄	SD₁₆	1	8	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
125	C₄×D₄	—	2	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	8	no	—
127	C₄×D₄	—	2	8	no	—
128	C₄×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#106	—	2	16	no	—
163	#106	—	4	8	no	—
164	#106	—	4	8	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
167	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
168	#95	—	4	16	no	—
169	#95	—	4	4	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	16	no	—
182	C₂×D₄	—	2	16	no	—
183	C₂×D₄	#106	1	16	yes	complemented
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	32	no	—
248	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
251	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
252	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
266	C₄²	—	8	8	no	—
267	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₄²	#117	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₂³	—	2	16	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	16	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	C₂×#106	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
291	C₂³	#547	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
294	C₂³	#577	1	4	yes	—
295	D₄	—	2	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#106	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#427	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₈	#390	1	8	yes	complemented
349	C₂²	—	2	16	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	4	8	no	—
352	C₂²	—	4	16	no	—
353	C₂²	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
359	C₂²	#2537	1	2	yes	—
360	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#2912	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
367	C₂²	#3057	1	2	yes	—
368	C₂²	#3060	1	2	yes	—
369	C₂²	D₄×SD₁₆	1	4	yes	—
370	C₂²	#3284	1	4	yes	—
371	C₂²	#3335	1	4	yes	—
372	C₂²	#3340	1	4	yes	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	8	8	no	—
376	C₄	—	16	4	no	—
377	C₄	#1807	1	8	yes	complemented
378	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2354	1	2	yes	—
381	C₄	#2538	1	2	yes	—
382	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	4	8	no	—
385	C₂	#13906	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#1807	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20662	1	1	yes	characteristic
388	C₂	D₄×#106	1	2	yes	—
389	C₂	#22657	1	2	yes	—
390	C₂	#28223	1	4	yes	—
391	C₂	#28482	1	2	yes	—
392	C₂	#28706	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1844	C₂	semidirect
3. C₂×#1807	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#106	C₂	semidirect
6. #11095	C₂	semidirect
7. #10849	C₂	semidirect
12. C₂×C₈×D₄	C₄	semidirect
62. C₂×#106	D₄	semidirect
167. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
183. C₂×D₄	#106	semidirect
348. C₈	#390	semidirect
377. C₄	#1807	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
C₂×#1844	2
C₂×#1807	2
C₂×C₄×#106	2
#13906	2
#11095	2
#10849	2