Subgroups — #362018

Order 512.

1714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1809	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13905	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11096	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#436	—	2	4	no	—
11	C₂×#436	—	2	4	no	—
12	C₂×#436	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#1846	—	2	4	no	—
23	#1809	—	2	16	no	—
24	C₄×#107	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	#1445	—	2	2	no	—
28	#1438	—	2	2	no	—
29	#1437	—	2	4	no	—
30	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#436	—	2	32	no	—
54	C₂×#107	—	2	4	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	—	4	4	no	—
58	C₂×#107	D₄	1	8	yes	complemented
59	C₂×#106	—	2	8	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
70	#382	—	2	4	no	—
71	#382	—	2	4	no	—
72	#380	—	2	16	no	—
73	#380	—	4	8	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	8	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	#340	—	2	4	no	—
81	#340	—	2	16	no	—
82	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
86	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	—	2	8	no	—
125	C₄×D₄	—	2	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
154	#107	—	2	16	no	—
155	#107	—	4	8	no	—
156	#106	—	4	8	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
159	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
160	#95	—	4	16	no	—
161	#95	—	4	4	no	—
162	#95	—	4	4	no	—
163	#95	—	4	4	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	4	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	8	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
229	M₁₆	—	4	32	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
242	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
243	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
255	C₄²	—	8	8	no	—
256	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₄²	#117	1	4	yes	—
258	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
259	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	8	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
280	C₂³	#547	1	2	yes	—
281	C₂³	#575	1	4	yes	—
282	C₂³	#576	1	2	yes	—
283	C₂³	#578	1	2	yes	—
284	D₄	—	4	16	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	8	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	#390	1	8	yes	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	16	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
346	C₂²	#2537	1	2	yes	—
347	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2911	1	2	yes	—
350	C₂²	#2913	1	2	yes	—
351	C₂²	#3054	1	2	yes	—
352	C₂²	#3054	1	2	yes	—
353	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3061	1	2	yes	—
356	C₂²	#3273	1	4	yes	—
357	C₂²	#3277	1	4	yes	—
358	C₂²	#3352	1	4	yes	—
359	C₂²	#3355	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	8	8	no	—
364	C₄	—	16	4	no	—
365	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2354	1	2	yes	—
368	C₄	#2538	1	2	yes	—
369	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	8	4	no	—
372	C₂	#13906	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20660	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#20663	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#22664	1	4	yes	—
376	C₂	#28233	1	2	yes	—
377	C₂	#28234	1	2	yes	—
378	C₂	#28491	1	2	yes	—
379	C₂	#28709	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1846	C₂	semidirect
3. C₂×#1809	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#107	C₂	semidirect
6. #11096	C₂	semidirect
7. #10850	C₂	semidirect
12. C₂×#436	C₄	semidirect
58. C₂×#107	D₄	semidirect
159. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#436	2
C₂×#1846	2
C₂×#1809	2
C₂×C₄×#107	2
#13905	2
#11096	2
#10850	2