Subgroups — #362019

Order 512.

1612 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21190	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1810	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11097	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×D₄	—	2	4	no	—
11	C₂×C₈×D₄	—	2	4	no	—
12	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#407	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1955	—	2	4	no	—
24	#1954	—	2	4	no	—
25	#1848	—	2	4	no	—
26	#1810	—	2	16	no	—
27	C₄×#108	—	2	4	no	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₈×D₄	—	2	16	no	—
54	C₈×D₄	—	2	16	no	—
55	C₂×#108	—	2	4	no	—
56	C₂×#108	—	2	4	no	—
57	C₂×#108	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	4	4	no	—
61	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
62	#423	—	2	4	no	—
63	#423	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#407	—	2	16	no	—
71	#407	—	4	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₂×#97	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
84	#341	—	2	16	no	—
85	#341	—	2	4	no	—
86	C₂⁵	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#108	—	2	16	no	—
163	#108	—	4	8	no	—
164	#108	—	4	8	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
171	#97	—	4	4	no	—
172	C₄×C₈	—	4	4	no	—
173	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	8	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	#108	1	8	yes	complemented
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	32	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	8	no	—
255	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
259	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₄²	#117	1	2	yes	—
268	C₄²	#117	1	2	yes	—
269	C₄²	#121	1	2	yes	—
270	C₄²	#121	1	2	yes	—
271	C₄²	#121	1	2	yes	—
272	C₄²	#121	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	4	16	no	—
282	C₂³	—	4	16	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	C₂×#108	1	8	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
293	C₂³	#554	1	2	yes	—
294	D₄	—	2	16	no	—
295	D₄	—	2	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
337	C₈	—	2	4	no	—
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₈	—	4	4	no	—
340	C₈	—	8	4	no	—
341	C₈	#390	1	8	yes	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	16	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	4	16	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
358	C₂²	#2538	1	2	yes	—
359	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂²×#108	1	2	yes	—
362	C₂²	#2916	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	#1810	1	4	yes	complemented
368	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2354	1	2	yes	—
371	C₄	#2537	1	2	yes	—
372	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	4	8	no	—
378	C₂	#13906	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#1810	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20668	1	1	yes	characteristic
381	C₂	D₄×#108	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂³×D₄	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1848	C₂	semidirect
4. C₂×#1810	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
6. #11097	C₂	semidirect
7. #10853	C₂	semidirect
61. C₂×#108	D₄	semidirect
189. C₂×D₄	#108	semidirect
367. C₄	#1810	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₈×D₄	2
#21190	2
C₂×#1848	2
C₂×#1810	2
C₂×C₄×#108	2
#11097	2
#10853	2