Subgroups — #362021

Order 512.

1416 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21209	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1814	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11108	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10856	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2931	—	2	2	no	—
11	#2931	—	2	2	no	—
12	#2931	C₄	1	2	yes	complemented
13	#2931	C₄	1	2	yes	complemented
14	#2931	C₄	1	2	yes	complemented
15	#2931	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#436	—	2	2	no	—
17	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#421	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
27	#1963	—	2	4	no	—
28	#1962	—	2	4	no	—
29	#1848	—	2	2	no	—
30	#1848	—	2	2	no	—
31	#1814	—	2	16	no	—
32	C₄×#107	—	2	2	no	—
33	C₄×#106	—	2	2	no	—
34	C₂×#344	C₂²	1	8	yes	—
35	#1735	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	8	no	—
40	C₂×#131	—	2	8	no	—
41	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#532	D₄	1	2	yes	—
54	#532	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#124	Q₈	1	2	yes	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	#436	—	2	4	no	—
65	#436	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₈×D₄	—	2	4	no	—
68	C₈×D₄	—	2	4	no	—
69	C₈×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	8	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	C₂×#108	—	2	2	no	—
73	C₂×#108	—	2	2	no	—
74	C₂×#108	—	4	4	no	—
75	#427	—	2	4	no	—
76	#427	D₄	1	8	yes	complemented
77	C₂×#107	—	2	2	no	—
78	C₂×#106	—	2	2	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	#423	—	2	4	no	—
81	#423	—	2	2	no	—
82	#423	—	2	2	no	—
83	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
87	#421	—	2	16	no	—
88	#421	—	4	8	no	—
89	C₂×#104	—	2	16	no	—
90	#408	—	2	4	no	—
91	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
104	#376	—	2	2	no	—
105	C₄³	—	2	2	no	—
106	#344	—	2	16	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	2	16	no	—
124	#131	—	2	16	no	—
125	#131	—	4	8	no	—
126	#131	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	#124	—	2	4	no	—
166	#124	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
167	#124	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
168	#121	—	2	4	no	—
169	#121	—	2	4	no	—
170	#121	—	2	4	no	—
171	#121	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	4	no	—
175	C₄×D₄	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	#108	—	4	8	no	—
196	#108	—	4	4	no	—
197	#108	—	4	4	no	—
198	#107	—	2	8	no	—
199	#106	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
204	#104	—	4	32	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	#95	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	2	no	—
217	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	2	8	no	—
219	#41	—	2	8	no	—
220	#41	—	2	8	no	—
221	#41	—	2	8	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	8	no	—
269	M₁₆	—	4	8	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	M₁₆	—	4	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	8	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	8	no	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
294	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
295	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄²	—	2	8	no	—
308	C₄²	—	4	4	no	—
309	C₄²	—	8	8	no	—
310	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	#121	1	2	yes	—
317	C₄²	#121	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂³	—	2	4	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#547	1	2	yes	—
329	C₂³	#555	1	2	yes	—
330	Q₈	—	2	8	no	—
331	Q₈	—	4	4	no	—
332	D₄	—	2	8	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₈	—	8	4	no	—
379	C₈	#390	1	2	yes	—
380	C₈	#390	1	2	yes	—
381	C₈	#390	1	2	yes	—
382	C₈	#390	1	2	yes	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	8	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2354	1	2	yes	—
394	C₂²	#2537	1	2	yes	—
395	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	8	8	no	—
402	C₄	#1814	1	4	yes	complemented
403	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
405	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
406	C₄	#2538	1	2	yes	—
407	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
409	C₂	—	2	2	no	—
410	C₂	—	2	1	no	—
411	C₂	—	2	1	no	—
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	8	4	no	—
414	C₂	#13906	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₂×#1814	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1848	C₂	semidirect
4. C₂×#1814	C₂	semidirect
5. C₄×#427	C₂	semidirect
6. #11108	C₂	semidirect
7. #10856	C₂	semidirect
12. #2931	C₄	semidirect
13. #2931	C₄	semidirect
14. #2931	C₄	semidirect
15. #2931	C₄	semidirect
76. #427	D₄	semidirect
402. C₄	#1814	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2931	2
#21209	2
C₂×#1848	2
C₂×#1814	2
C₄×#427	2
#11108	2
#10856	2