Subgroups — #362023

Order 512.

1470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21200	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11106	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2931	—	2	4	no	—
11	#2931	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#436	—	2	2	no	—
13	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	#1959	—	2	4	no	—
24	#1957	—	2	2	no	—
25	#1956	—	2	2	no	—
26	#1844	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	2	no	—
28	#1815	—	2	16	no	—
29	C₄×#108	—	2	4	no	—
30	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×#131	—	2	4	no	—
34	C₂×#131	—	2	8	no	—
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#532	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#121	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#436	—	2	16	no	—
56	C₈×D₄	—	2	16	no	—
57	C₂×#108	—	2	4	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×#106	—	2	8	no	—
61	C₂×#106	—	2	4	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	—	4	4	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#417	—	2	16	no	—
69	#417	—	4	8	no	—
70	C₂×#103	—	2	8	no	—
71	C₂×#102	—	2	8	no	—
72	#408	—	2	4	no	—
73	#408	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
77	C₂×#97	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
83	#384	—	2	4	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#343	—	2	16	no	—
87	#341	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	#131	—	2	32	no	—
105	#131	—	4	16	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	#124	—	2	4	no	—
140	#124	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
141	#121	—	2	8	no	—
142	#121	—	2	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	#108	—	2	16	no	—
162	#106	—	4	8	no	—
163	#106	—	4	4	no	—
164	#106	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
166	#103	—	4	16	no	—
167	#102	—	4	16	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
169	#97	—	4	4	no	—
170	C₄×C₈	—	4	4	no	—
171	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
175	#41	—	2	8	no	—
176	#41	—	2	8	no	—
177	#41	—	2	8	no	—
178	#41	—	2	8	no	—
179	#41	—	4	4	no	—
180	#41	—	4	4	no	—
181	#41	—	4	4	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
208	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
222	M₁₆	—	2	8	no	—
223	M₁₆	—	2	8	no	—
224	M₁₆	—	2	8	no	—
225	M₁₆	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	M₁₆	—	4	4	no	—
228	M₁₆	—	4	16	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	16	no	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
245	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
256	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₄²	#121	1	2	yes	—
260	C₄²	#121	1	2	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#550	1	2	yes	—
271	C₂³	#556	1	2	yes	—
272	Q₈	—	2	8	no	—
273	Q₈	—	4	4	no	—
274	D₄	—	2	8	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	8	no	—
277	D₄	—	4	16	no	—
278	D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	8	no	—
291	C₂×C₄	—	16	8	no	—
292	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#471	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	—	4	8	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	#390	1	4	yes	—
317	C₈	#390	1	4	yes	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2354	1	2	yes	—
328	C₂²	#2538	1	2	yes	—
329	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#471	1	4	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	16	4	no	—
335	C₄	#1815	1	8	yes	complemented
336	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
338	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
339	C₄	#2537	1	2	yes	—
340	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
342	C₂	—	2	2	no	—
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	8	4	no	—
345	C₂	#13906	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#1815	1	2	yes	—
347	C₂	#28494	1	2	yes	—
348	C₂	#28732	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1844	C₂	semidirect
4. C₂×#1815	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
6. #11106	C₂	semidirect
7. #10857	C₂	semidirect
11. #2931	C₄	semidirect
59. C₂×#108	D₄	semidirect
335. C₄	#1815	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2931	2
#21200	2
C₂×#1844	2
C₂×#1815	2
C₂×C₄×#108	2
#11106	2
#10857	2