Subgroups — #362078

Order 512.

1362 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20661	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11249	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10739	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	—	2	8	no	—
12	C₂²×#108	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
20	#2280	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
22	#1951	—	2	8	no	—
23	#1809	—	2	4	no	—
24	#1808	—	2	2	no	—
25	#1807	—	2	2	no	—
26	#1807	—	2	1	no	—
27	#1807	—	2	1	no	—
28	#1807	—	2	1	no	—
29	#1807	—	2	1	no	—
30	#1752	—	2	1	no	—
31	#1752	—	2	1	no	—
32	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
33	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
36	#1736	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂×#108	—	2	8	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	32	no	—
65	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
69	#428	—	2	8	no	—
70	#428	—	4	4	no	—
71	C₂×#107	—	2	4	no	—
72	C₂×#106	—	2	2	no	—
73	C₂×#106	—	2	2	no	—
74	C₂×#106	—	2	4	no	—
75	C₂×#106	—	2	4	no	—
76	C₂×#106	—	2	4	no	—
77	#407	—	2	2	no	—
78	#407	Q₈	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	#381	—	2	1	no	—
86	#380	—	2	2	no	—
87	#380	—	2	2	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	2	no	—
90	#380	D₄	1	2	yes	—
91	#380	D₄	1	2	yes	—
92	#379	—	2	1	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×#95	—	2	2	no	—
96	#343	—	2	8	no	—
97	#343	—	4	4	no	—
98	#340	—	2	2	no	—
99	#340	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
153	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	#108	—	2	16	no	—
186	#108	—	2	8	no	—
187	#108	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
188	#107	—	4	8	no	—
189	#106	—	4	8	no	—
190	#106	—	4	4	no	—
191	#106	—	4	4	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
194	#97	—	4	4	no	—
195	C₄×C₈	—	4	4	no	—
196	#95	—	2	2	no	—
197	#95	—	2	2	no	—
198	#95	—	4	2	no	—
199	#95	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
206	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
207	C₂⁴	#125	1	2	yes	—
208	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	4	16	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	—	4	4	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	16	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	4	no	—
316	C₂³	—	2	4	no	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	#389	1	2	yes	—
325	C₂³	#389	1	2	yes	—
326	C₂³	#471	1	4	yes	—
327	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	#548	1	2	yes	—
331	C₂³	#553	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	16	4	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
377	C₈	—	2	8	no	—
378	C₈	—	2	2	no	—
379	C₈	—	2	2	no	—
380	C₈	—	4	4	no	—
381	C₈	—	4	4	no	—
382	C₈	#380	1	4	yes	—
383	C₈	#380	1	4	yes	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	8	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	8	no	—
399	C₂²	—	4	4	no	—
400	C₂²	#1951	1	4	yes	complemented
401	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#2345	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#2416	1	2	yes	—
405	C₂²	#2442	1	2	yes	—
406	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
407	C₂²	#3067	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	—	16	4	no	—
412	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#2316	1	1	yes	characteristic
414	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2344	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2417	1	2	yes	—
417	C₄	#2440	1	2	yes	—
418	C₂	—	2	1	no	—
419	C₂	—	2	1	no	—
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	2	4	no	—
422	C₂	—	4	2	no	—
423	C₂	#13907	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#1951	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21181	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#24802	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1951	C₂	semidirect
6. #11249	C₂	semidirect
7. #10869	C₂	semidirect
12. C₂²×#108	C₄	semidirect
187. #108	C₂²⋊C₄	semidirect
400. C₂²	#1951	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#108	2
C₂×#1951	2
#20661	2
C₂×#1807	2
#20385	2
#11249	2
#10869	2
#10739	2