Subgroups — #362095

Order 512.

1221 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2916	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1953	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20673	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11248	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10867	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10771	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2916	—	2	8	no	—
12	C₂×#430	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#108	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	#1953	—	2	8	no	—
24	#1813	—	2	8	no	—
25	#1813	—	2	4	no	—
26	#1757	—	2	4	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	#1742	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	#568	—	2	8	no	—
34	#568	—	4	4	no	—
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
41	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	#430	—	2	8	no	—
53	#430	—	2	16	no	—
54	#430	—	2	8	no	—
55	#430	—	4	4	no	—
56	C₂×#108	—	2	4	no	—
57	C₂×#108	—	2	16	no	—
58	C₂×#108	—	2	8	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	—	2	2	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
69	#413	—	2	2	no	—
70	#413	—	2	4	no	—
71	#413	—	2	4	no	—
72	#413	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×#101	—	2	1	no	—
74	C₂×#101	—	2	2	no	—
75	C₂×#100	—	2	1	no	—
76	C₂×#100	—	2	2	no	—
77	#410	—	2	2	no	—
78	#410	—	2	2	no	—
79	C₂×#99	Q₈	1	4	yes	—
80	#405	—	2	4	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	#344	—	2	8	no	—
85	#344	—	2	4	no	—
86	#343	—	4	4	no	—
87	#338	—	2	8	no	—
88	#338	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	#131	—	2	8	no	—
103	#131	—	2	8	no	—
104	#131	—	2	8	no	—
105	#131	—	2	8	no	—
106	#131	—	4	16	no	—
107	#131	—	4	16	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	#108	—	2	16	no	—
163	#108	—	2	4	no	—
164	#108	—	2	4	no	—
165	#108	—	4	16	no	—
166	#108	—	4	4	no	—
167	#108	—	4	4	no	—
168	#108	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
169	#108	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
170	#101	—	2	4	no	—
171	#101	—	4	4	no	—
172	#100	—	2	4	no	—
173	#100	—	4	4	no	—
174	#99	—	2	8	no	—
175	#97	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	2	4	no	—
183	#41	—	2	4	no	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	4	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	#121	1	2	yes	—
190	C₂×Q₈	#125	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	#121	1	2	yes	—
196	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	#125	1	2	yes	—
198	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
217	M₁₆	—	2	4	no	—
218	M₁₆	—	2	4	no	—
219	M₁₆	—	2	4	no	—
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	M₁₆	—	2	16	no	—
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	2	4	no	—
225	M₁₆	—	2	4	no	—
226	M₁₆	—	4	16	no	—
227	M₁₆	—	4	2	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	M₁₆	—	4	4	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	4	no	—
234	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	16	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	8	1	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	#389	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
277	C₂³	#554	1	2	yes	—
278	Q₈	—	2	4	no	—
279	Q₈	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	2	4	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
311	C₈	—	2	8	no	—
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₈	—	8	4	no	—
316	C₈	#380	1	2	yes	—
317	C₈	#380	1	2	yes	—
318	C₈	#380	1	4	yes	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	1	no	—
322	C₂²	—	4	1	no	—
323	C₂²	—	4	1	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2345	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2417	1	2	yes	—
332	C₂²	#2440	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	8	4	no	—
335	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2316	1	1	yes	characteristic
337	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2344	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#2416	1	2	yes	—
340	C₄	#2442	1	2	yes	—
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	4	4	no	—
347	C₂	#13907	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2344
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#13907
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1953	C₂	semidirect
6. #11248	C₂	semidirect
7. #10867	C₂	semidirect
12. C₂×#430	C₄	semidirect
15. C₂²×#108	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2916	2
C₂×#1953	2
#20673	2
C₂×#1813	2
C₂×#1757	2
#11248	2
#10867	2
#10771	2