Subgroups — #362136

Order 512.

1570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13907	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11327	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11257	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10880	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10730	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#380	—	2	2	no	—
16	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1807	—	2	4	no	—
19	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
20	C₂×#340	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#1441	—	2	4	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
31	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#106	—	2	4	no	—
53	C₂×#106	—	4	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
59	#389	—	2	8	no	—
60	#389	—	4	4	no	—
61	#380	—	2	4	no	—
62	#380	—	2	4	no	—
63	#380	—	4	8	no	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×#95	—	2	4	no	—
67	C₂×#95	—	2	4	no	—
68	C₂×#95	—	2	2	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
71	#340	—	2	4	no	—
72	#340	—	2	8	no	—
73	#340	—	4	4	no	—
74	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	SD₁₆	1	8	yes	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	#106	—	4	8	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
149	C₄×C₈	—	4	8	no	—
150	#95	—	2	4	no	—
151	#95	—	4	8	no	—
152	#95	—	4	4	no	—
153	#95	—	4	8	no	—
154	#95	—	8	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
160	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
161	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
162	C₂⁴	#135	1	4	yes	—
163	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	4	16	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
243	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	8	no	—
256	C₂³	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	#389	1	4	yes	—
261	C₂³	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
262	C₂³	#465	1	8	yes	—
263	C₂³	#498	1	4	yes	—
264	C₂³	#499	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#546	1	4	yes	—
269	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
271	C₂³	#576	1	2	yes	—
272	C₂³	#578	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	32	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	8	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	2	16	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	#1941	1	8	yes	—
331	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2342	1	2	yes	—
333	C₂²	#2543	1	2	yes	—
334	C₂²	#2549	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
336	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
339	C₂²	#3061	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#499	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3164	1	2	yes	—
343	C₂²	#3295	1	4	yes	—
344	C₂²	#3297	1	4	yes	—
345	C₂²	#3298	1	4	yes	—
346	C₂²	#3300	1	4	yes	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	4	8	no	—
349	C₄	—	4	8	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	16	4	no	—
352	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2345	1	2	yes	—
355	C₄	#2564	1	2	yes	—
356	C₄	#2569	1	2	yes	—
357	C₂	—	2	8	no	—
358	C₂	#13908	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#1941	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#21158	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#22571	1	2	yes	—
362	C₂	#22574	1	2	yes	—
363	C₂	#28555	1	4	yes	—
364	C₂	#28771	1	2	yes	—
365	C₂	#28772	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11327	C₂	semidirect
6. #11257	C₂	semidirect
7. #10880	C₂	semidirect
20. C₂×#340	C₄	semidirect
107. C₂²×C₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1807	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#340	2
#13907	2
#11327	2
#11257	2
#10880	2
#10730	2