Subgroups — #362154

Order 512.

1338 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1810	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11326	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11269	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10911	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10723	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	#1810	—	2	8	no	—
18	#1797	—	2	2	no	—
19	#1797	—	2	2	no	—
20	#1749	—	2	2	no	—
21	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
22	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
25	#1728	C₂²	1	2	yes	—
26	#1728	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₄	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₄	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	Q₈	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
40	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#108	—	2	8	no	—
53	C₂×#108	—	2	8	no	—
54	C₂×#108	—	4	4	no	—
55	#423	—	4	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
57	#407	—	2	2	no	—
58	#407	—	2	2	no	—
59	#407	—	2	4	no	—
60	#407	—	2	4	no	—
61	#407	D₄	1	4	yes	—
62	#407	Q₈	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	#341	—	2	8	no	—
70	#341	—	2	8	no	—
71	#341	—	4	4	no	—
72	#336	—	2	2	no	—
73	#336	—	2	2	no	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
86	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
132	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	#108	—	4	16	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
154	#97	—	4	4	no	—
155	C₄×C₈	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂⁴	#125	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
192	C₂²×C₄	#108	1	8	yes	complemented
193	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
212	M₁₆	—	2	8	no	—
213	M₁₆	—	2	8	no	—
214	M₁₆	—	4	4	no	—
215	M₁₆	—	4	4	no	—
216	M₁₆	—	4	4	no	—
217	M₁₆	—	4	4	no	—
218	M₁₆	—	4	4	no	—
219	M₁₆	—	4	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	32	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₂³	—	2	16	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	8	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	#389	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
265	C₂³	#430	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#533	1	2	yes	—
270	C₂³	#543	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
310	C₈	—	2	8	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	—	4	4	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	2	16	no	—
316	C₂²	—	2	16	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	#1950	1	8	yes	—
329	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2549	1	2	yes	—
333	C₂²	#2569	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂²×#108	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	#2342	1	2	yes	—
342	C₄	#2345	1	2	yes	—
343	C₄	#2543	1	2	yes	—
344	C₄	#2564	1	2	yes	—
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	2	8	no	—
347	C₂	—	2	2	no	—
348	C₂	#13908	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#20826	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20830	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂×#1950	1	2	yes	—
352	C₂	#21948	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11326	C₂	semidirect
6. #11269	C₂	semidirect
7. #10911	C₂	semidirect
192. C₂²×C₄	#108	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1810	2
#20626	2
C₄×#407	2
C₂²×#336	2
#11326	2
#11269	2
#10911	2
#10723	2