Subgroups — #362233

Order 512.

994 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 258 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1951	C₂	1	4	yes	maximal
2	#20801	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11331	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10858	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
18	#1951	—	2	16	no	—
19	#1847	—	2	4	no	—
20	#1846	—	2	2	no	—
21	#1846	—	2	2	no	—
22	#1846	—	2	4	no	—
23	C₄×#108	C₄	1	8	yes	complemented
24	#1770	—	2	2	no	—
25	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	#1729	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
38	C₂×#108	Q₈	1	8	yes	—
39	#428	—	2	16	no	—
40	#428	—	4	8	no	—
41	C₂×#107	—	2	4	no	—
42	C₂×#107	—	2	8	no	—
43	C₂×#107	—	4	4	no	—
44	C₂×#106	—	2	2	no	—
45	C₂×#106	—	2	2	no	—
46	C₂×#106	—	2	8	no	—
47	C₂×#106	—	2	8	no	—
48	#423	—	2	2	no	—
49	#423	Q₈	1	4	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
51	#405	—	2	8	no	—
52	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×#97	—	2	2	no	—
55	C₂×#97	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
62	#384	D₄	1	2	yes	—
63	#382	—	2	4	no	—
64	#382	—	2	2	no	—
65	#382	—	2	2	no	—
66	#382	D₄	1	2	yes	—
67	#380	—	2	2	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	#343	—	2	16	no	—
71	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
74	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
83	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
84	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
85	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
99	#117	—	2	4	no	—
100	#117	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
116	#108	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
117	#107	—	4	16	no	—
118	#107	—	4	8	no	—
119	#106	—	4	16	no	—
120	#106	—	4	4	no	—
121	#106	—	4	4	no	—
122	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
123	#97	—	2	8	no	—
124	#97	—	4	4	no	—
125	C₄×C₈	—	2	8	no	—
126	C₄×C₈	—	4	4	no	—
127	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
129	#95	—	2	4	no	—
130	#95	—	4	4	no	—
131	#95	—	4	4	no	—
132	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
138	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
152	M₁₆	—	2	8	no	—
153	M₁₆	—	2	8	no	—
154	M₁₆	—	2	8	no	—
155	M₁₆	—	2	8	no	—
156	M₁₆	—	4	4	no	—
157	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
158	C₂×C₈	—	2	8	no	—
159	C₂×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂×C₈	—	2	8	no	—
164	C₂×C₈	—	2	8	no	—
165	C₂×C₈	—	2	4	no	—
166	C₂×C₈	—	4	2	no	—
167	C₂×C₈	—	4	2	no	—
168	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
173	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
174	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
175	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
176	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₄²	—	4	2	no	—
184	C₄²	—	4	2	no	—
185	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
187	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
188	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
189	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
190	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
194	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
195	C₂³	#550	1	2	yes	—
196	C₂³	#557	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄	—	8	4	no	—
204	C₂×C₄	—	8	8	no	—
205	C₂×C₄	—	16	8	no	—
206	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
207	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
226	C₈	—	2	4	no	—
227	C₈	—	2	16	no	—
228	C₈	—	4	4	no	—
229	C₈	#384	1	4	yes	—
230	C₈	#384	1	4	yes	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	2	4	no	—
233	C₂²	—	2	2	no	—
234	C₂²	—	2	2	no	—
235	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#2552	1	2	yes	—
240	C₂²	#3067	1	4	yes	—
241	C₄	—	2	4	no	—
242	C₄	—	2	4	no	—
243	C₄	—	8	4	no	—
244	C₄	—	16	4	no	—
245	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
246	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
247	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#2551	1	2	yes	—
250	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
251	C₂	—	2	2	no	—
252	C₂	—	2	2	no	—
253	C₂	#13910	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#21181	1	2	yes	—
255	C₂	#28495	1	2	yes	—
256	C₂	#28701	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
23. C₄×#108	C₄	semidirect
116. #108	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1951	2
#20801	2
C₂×#1846	2
C₂×C₄×#108	2
#20437	2
#11331	2
#10858	2