Subgroups — #362253

Order 512.

1050 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1951	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21155	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20802	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11340	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10869	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2317	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	#1951	—	2	8	no	—
22	#1943	—	2	4	no	—
23	#1941	—	2	4	no	—
24	#1847	—	2	4	no	—
25	#1846	—	2	2	no	—
26	#1844	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	4	no	—
28	#1772	—	2	4	no	—
29	#1772	C₄	1	8	yes	complemented
30	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#108	—	2	2	no	—
44	C₂×#108	—	2	2	no	—
45	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
49	#428	—	2	8	no	—
50	#428	—	4	4	no	—
51	#427	—	2	2	no	—
52	#427	—	2	2	no	—
53	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#427	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	2	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×#106	—	2	4	no	—
67	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
69	#405	—	2	4	no	—
70	#405	—	2	4	no	—
71	#405	—	2	4	no	—
72	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
80	#389	—	2	8	no	—
81	#385	—	4	4	no	—
82	#384	—	2	4	no	—
83	#384	—	2	4	no	—
84	#384	—	4	2	no	—
85	#382	—	2	4	no	—
86	#343	—	2	8	no	—
87	#340	—	2	8	no	—
88	#339	—	2	4	no	—
89	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
123	#117	—	2	2	no	—
124	#117	—	2	2	no	—
125	#117	—	2	2	no	—
126	#117	—	2	2	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	#108	—	2	8	no	—
153	#108	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
154	#107	—	2	4	no	—
155	#107	—	4	8	no	—
156	#107	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
157	#106	—	2	4	no	—
158	#106	—	4	8	no	—
159	#106	—	4	4	no	—
160	#106	—	4	4	no	—
161	#106	—	4	4	no	—
162	#106	—	4	4	no	—
163	#106	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
164	#97	—	2	8	no	—
165	#97	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	8	no	—
167	C₄×C₈	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
169	#95	—	4	8	no	—
170	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
181	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
195	M₁₆	—	2	4	no	—
196	M₁₆	—	2	4	no	—
197	M₁₆	—	2	4	no	—
198	M₁₆	—	2	4	no	—
199	M₁₆	—	2	4	no	—
200	M₁₆	—	4	2	no	—
201	M₁₆	—	4	2	no	—
202	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
220	C₂×C₈	#125	1	4	yes	—
221	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
237	C₄⋊C₄	—	16	8	no	—
238	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	Q₈²	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂×C₄	—	8	8	no	—
269	C₂×C₄	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	16	4	no	—
271	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
299	C₈	—	2	8	no	—
300	C₈	—	4	4	no	—
301	C₈	#384	1	4	yes	—
302	C₈	#384	1	4	yes	—
303	C₈	#389	1	4	yes	—
304	C₈	#389	1	4	yes	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#2551	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#2552	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#3291	1	4	yes	—
319	C₄	—	2	8	no	—
320	C₄	—	4	8	no	—
321	C₄	—	8	4	no	—
322	C₄	—	16	4	no	—
323	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
324	C₄	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
325	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2546	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2551	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#2552	1	1	yes	characteristic
331	C₂	—	2	1	no	—
332	C₂	—	2	1	no	—
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	2	1	no	—
335	C₂	#13910	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#22689	1	2	yes	—
337	C₂	#28502	1	2	yes	—
338	C₂	#28824	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
29. #1772	C₄	semidirect
153. #108	C₄⋊C₄	semidirect
156. #107	C₄⋊C₄	semidirect
163. #106	C₄⋊C₄	semidirect
168. C₄×C₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1951	2
#21155	2
#20802	2
C₂×#1844	2
C₂×#1772	2
#11340	2
#10869	2