Subgroups — #362302

Order 512.

836 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1833	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11260	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10868	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10855	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10837	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	2	yes	—
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1846	—	2	1	no	—
20	#1846	—	2	1	no	—
21	#1845	—	2	1	no	—
22	#1844	—	2	1	no	—
23	#1833	—	2	8	no	—
24	C₄×#108	—	2	1	no	—
25	C₄×#108	—	2	1	no	—
26	C₄×#108	—	2	1	no	—
27	C₄×#108	—	2	1	no	—
28	#1770	C₄	1	4	yes	complemented
29	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
30	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#108	—	2	1	no	—
45	C₂×#108	—	2	1	no	—
46	C₂×#108	—	2	1	no	—
47	C₂×#108	—	2	1	no	—
48	C₂×#108	—	2	2	no	—
49	C₂×#108	—	2	2	no	—
50	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
52	#427	—	2	4	no	—
53	#427	—	2	4	no	—
54	#427	—	4	2	no	—
55	#427	—	4	2	no	—
56	C₂×#107	—	2	2	no	—
57	C₂×#107	—	2	2	no	—
58	C₂×#106	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	#423	—	2	1	no	—
61	#423	—	2	1	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#405	—	2	4	no	—
65	#405	—	2	4	no	—
66	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	2	yes	—
82	#384	—	2	2	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#382	—	2	1	no	—
85	#382	—	2	2	no	—
86	#380	—	2	2	no	—
87	#380	—	2	4	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	#344	—	2	8	no	—
91	#344	—	4	4	no	—
92	#341	—	2	2	no	—
93	#341	—	2	2	no	—
94	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
96	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
163	#108	—	2	4	no	—
164	#108	—	2	4	no	—
165	#108	—	2	4	no	—
166	#108	—	2	4	no	—
167	#107	—	4	4	no	—
168	#107	—	4	4	no	—
169	#106	—	4	4	no	—
170	#106	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	#97	—	2	8	no	—
174	#97	—	4	2	no	—
175	#97	—	4	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	4	2	no	—
178	C₄×C₈	—	4	2	no	—
179	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
213	M₁₆	—	2	4	no	—
214	M₁₆	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	2	4	no	—
216	M₁₆	—	2	4	no	—
217	M₁₆	—	4	2	no	—
218	M₁₆	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	M₁₆	—	4	2	no	—
221	M₁₆	—	4	2	no	—
222	M₁₆	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	4	2	no	—
224	M₁₆	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	4	no	—
274	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₄²	#117	1	2	yes	—
277	C₄²	#117	1	2	yes	—
278	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	#124	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	#125	1	2	yes	—
283	C₄²	#125	1	2	yes	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	#557	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#559	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	8	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	#382	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#382	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#382	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#382	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	4	4	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₈	#389	1	2	yes	—
340	C₈	#389	1	2	yes	—
341	C₈	#389	1	2	yes	—
342	C₈	#389	1	2	yes	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2552	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2568	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2571	1	1	yes	characteristic
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	8	4	no	—
361	C₄	—	16	4	no	—
362	C₄	#1833	1	4	yes	complemented
363	C₄	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#2354	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2355	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2552	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2571	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	2	1	no	—
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	#13911	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#1833	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#382
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ #2285 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
28. #1770	C₄	semidirect
29. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
362. C₄	#1833	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20797	2
C₂×#1833	2
C₂×C₄×#108	2
#20437	2
#11260	2
#10868	2
#10855	2
#10837	2