Subgroups — #362451

Order 512.

926 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21098	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20768	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11080	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10828	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#10773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2879	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1938	—	2	4	no	—
24	#1937	—	2	4	no	—
25	#1838	—	2	2	no	—
26	#1837	—	2	2	no	—
27	#1811	—	2	2	no	—
28	#1810	—	2	2	no	—
29	#1765	C₄	1	8	yes	complemented
30	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
32	#1738	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1733	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	—	4	2	no	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#430	—	2	4	no	—
60	#430	—	4	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	#424	—	2	4	no	—
63	#424	—	4	2	no	—
64	#423	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	4	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
68	#421	—	2	4	no	—
69	#421	—	4	2	no	—
70	C₂×#104	—	2	4	no	—
71	C₂×#104	—	2	4	no	—
72	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#416	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#416	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×#103	Q₈	1	2	yes	—
76	C₂×#102	Q₈	1	2	yes	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	#408	—	4	2	no	—
79	#407	—	2	4	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	—	4	2	no	—
83	#405	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×#97	—	2	1	no	—
85	C₂×#97	—	2	2	no	—
86	C₂×#97	—	4	2	no	—
87	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	#344	—	2	4	no	—
91	#344	—	2	4	no	—
92	#341	—	2	4	no	—
93	#341	—	2	1	no	—
94	#341	—	2	1	no	—
95	#341	—	2	1	no	—
96	#341	—	2	1	no	—
97	#341	—	2	2	no	—
98	#341	—	2	2	no	—
99	#341	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#341	D₄	1	2	yes	—
101	#341	D₄	1	2	yes	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#339	—	2	4	no	—
104	#339	—	2	4	no	—
105	#339	C₂×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×#41	—	2	1	no	—
107	C₂×#41	—	2	1	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#131	—	2	8	no	—
121	#131	—	4	4	no	—
122	#131	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
169	#117	—	2	1	no	—
170	#117	—	2	1	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	#117	#41	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
187	#108	—	4	8	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
189	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
190	#104	—	2	8	no	—
191	#104	—	4	8	no	—
192	#103	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
193	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
194	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
195	#97	—	2	4	no	—
196	#97	—	4	4	no	—
197	#97	—	4	4	no	—
198	C₄×C₈	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	2	1	no	—
201	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	2	no	—
203	#41	—	2	2	no	—
204	#41	—	2	2	no	—
205	#41	—	2	2	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	2	2	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	2	2	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	4	8	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	#117	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	#117	1	4	yes	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	#539	1	2	yes	—
311	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	#552	1	2	yes	—
314	Q₈	—	2	2	no	—
315	Q₈	—	2	2	no	—
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	D₄	—	2	2	no	—
318	D₄	—	2	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	2	4	no	—
356	C₈	—	2	4	no	—
357	C₈	—	4	2	no	—
358	C₈	—	4	4	no	—
359	C₈	—	8	2	no	—
360	C₈	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	#2318	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2346	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2553	1	2	yes	—
373	C₂²	#2556	1	2	yes	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2342	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2555	1	2	yes	—
383	C₄	#2574	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	1	no	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	2	2	no	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	8	2	no	—
389	C₂	#13915	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#22695	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20768	C₂	semidirect
5. #11341	C₂	semidirect
7. #10898	C₂	semidirect
8. #10845	C₂	semidirect
9. #10828	C₂	semidirect
11. #10707	C₂	semidirect
29. #1765	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21098	2
#20768	2
#20669	2
C₂×#1765	2
#11341	2
#11080	2
#10898	2
#10845	2
#10828	2
#10773	2
#10707	2