Subgroups — #362456

Order 512.

1742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1970	C₂	1	2	yes	maximal
3	#13916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11189	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10788	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₈	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#381	—	2	2	no	—
21	#1970	—	2	8	no	—
22	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	#1440	—	2	4	no	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×D₈	D₄	1	8	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄×D₈	—	2	32	no	—
53	C₂×#107	—	2	4	no	—
54	C₂×#107	—	2	4	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#102	—	2	8	no	—
59	C₂×#102	—	2	8	no	—
60	C₂×#102	—	2	8	no	—
61	C₂×#102	—	4	4	no	—
62	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#390	—	2	8	no	—
69	#390	—	4	4	no	—
70	#381	—	4	8	no	—
71	C₂×#95	—	2	2	no	—
72	C₂×#95	—	2	4	no	—
73	C₂×#95	—	2	4	no	—
74	C₂×#95	—	2	2	no	—
75	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#340	—	4	4	no	—
79	#340	—	4	2	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	2	2	no	—
82	C₂⁵	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×D₈	—	2	8	no	—
106	C₂×D₈	—	2	8	no	—
107	C₂×D₈	—	2	16	no	—
108	C₂×D₈	—	2	16	no	—
109	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
127	C₄×D₄	—	2	16	no	—
128	C₄×D₄	—	4	8	no	—
129	C₄×D₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
158	#107	—	2	8	no	—
159	#107	—	4	8	no	—
160	#102	—	2	16	no	—
161	#102	—	4	16	no	—
162	C₄×C₈	—	2	8	no	—
163	C₄×C₈	—	4	8	no	—
164	#95	—	2	4	no	—
165	#95	—	2	2	no	—
166	#95	—	4	8	no	—
167	#95	—	4	4	no	—
168	#95	—	8	4	no	—
169	#95	—	8	2	no	—
170	#95	D₈	1	4	yes	complemented
171	C₂⁴	—	2	4	no	—
172	C₂⁴	—	2	8	no	—
173	C₂⁴	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	—	4	2	no	—
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂⁴	—	4	2	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
252	D₈	—	2	32	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
269	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	4	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#532	1	2	yes	—
312	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
313	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#576	1	2	yes	—
319	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	#578	1	1	yes	characteristic
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	32	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	8	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	4	4	no	—
384	C₈	#381	1	8	yes	complemented
385	C₂²	—	4	8	no	—
386	C₂²	—	4	8	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	8	no	—
393	C₂²	—	8	8	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	8	no	—
396	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#2422	1	2	yes	—
400	C₂²	#2445	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3168	1	2	yes	—
406	C₂²	#3169	1	2	yes	—
407	C₂²	#3175	1	2	yes	—
408	C₂²	#3176	1	2	yes	—
409	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
410	C₂²	#3280	1	2	yes	—
411	C₂²	#3280	1	2	yes	—
412	C₂²	#3283	1	2	yes	—
413	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3339	1	2	yes	—
415	C₂²	#3341	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3391	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#3393	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#3396	1	2	yes	—
419	C₄	—	2	4	no	—
420	C₄	—	4	2	no	—
421	C₄	—	4	4	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	8	4	no	—
424	C₄	—	16	4	no	—
425	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#2319	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2357	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2420	1	2	yes	—
430	C₄	#2447	1	2	yes	—
431	C₂	—	8	8	no	—
432	C₂	#13916	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#21275	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#21282	1	1	yes	characteristic
435	C₂	C₂²⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#22448	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#22807	1	1	yes	characteristic
438	C₂	#22810	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#25032	1	2	yes	—
440	C₂	#25034	1	2	yes	—
441	C₂	#26252	1	2	yes	—
442	C₂	#26254	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₄×#95 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #13916	C₂	semidirect
4. #11189	C₂	semidirect
5. #10862	C₂	semidirect
6. #10862	C₂	semidirect
7. #10788	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect
170. #95	D₈	semidirect
384. C₈	#381	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₈	2
C₂×#1970	2
#13916	2
#11189	2
#10862	2
#10788	2
C₈×#95	2