Subgroups — #362466

Order 512.

1318 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1975	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11191	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10860	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10790	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1975	—	2	8	no	—
23	#1818	—	2	4	no	—
24	#1817	—	2	4	no	—
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	#1729	C₂²	1	4	yes	—
28	#1728	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×#135	—	2	2	no	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	2	no	—
36	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₄×#41	—	2	8	no	—
45	C₄×#41	—	4	4	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
55	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
56	C₄×D₈	—	2	8	no	—
57	C₂×#108	—	2	4	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	#427	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#104	—	2	8	no	—
64	C₂×#104	—	2	8	no	—
65	C₂×#104	—	4	4	no	—
66	#416	—	2	8	no	—
67	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#408	—	2	8	no	—
70	#408	—	4	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×#97	—	2	4	no	—
73	C₂×#97	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	#341	—	4	2	no	—
80	#339	—	4	4	no	—
81	#336	—	2	8	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	D₄	1	2	yes	—
86	#336	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	#135	—	2	16	no	—
104	#135	—	2	16	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
111	C₂×D₈	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
139	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	16	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
165	#108	—	4	8	no	—
166	#107	—	2	4	no	—
167	#106	—	2	4	no	—
168	#104	—	4	16	no	—
169	#103	—	2	8	no	—
170	#102	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
172	#97	—	4	8	no	—
173	C₄×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	4	no	—
175	#95	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
178	#41	—	2	8	no	—
179	#41	—	2	8	no	—
180	#41	—	2	8	no	—
181	#41	—	2	8	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	#41	—	4	4	no	—
185	#41	—	4	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
231	Q₁₆	—	2	8	no	—
232	SD₁₆	—	2	16	no	—
233	D₈	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
260	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	8	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#529	1	2	yes	—
285	C₂³	#546	1	2	yes	—
286	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	4	no	—
289	Q₈	—	2	4	no	—
290	Q₈	—	4	2	no	—
291	Q₈	—	4	2	no	—
292	D₄	—	2	4	no	—
293	D₄	—	2	4	no	—
294	D₄	—	4	8	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	2	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	16	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₈	—	8	4	no	—
340	C₈	#381	1	4	yes	—
341	C₈	#381	1	4	yes	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	8	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2420	1	2	yes	—
356	C₂²	#2447	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
358	C₂²	#2957	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#2319	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2357	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2422	1	2	yes	—
369	C₄	#2445	1	2	yes	—
370	C₂	—	2	2	no	—
371	C₂	—	2	2	no	—
372	C₂	—	8	4	no	—
373	C₂	#13916	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#21293	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#21295	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#22452	1	2	yes	—
377	C₂	#22803	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#336 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20684	C₂	semidirect
4. #11191	C₂	semidirect
5. #10864	C₂	semidirect
6. #10860	C₂	semidirect
7. #10790	C₂	semidirect
8. #10696	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
13. C₂×C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₂×#1975	2
#20684	2
#11191	2
#10864	2
#10860	2
#10790	2
#10696	2