Subgroups — #362477

Order 512.

1244 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2951	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21240	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20695	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11185	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10775	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10711	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
11	#2951	—	2	4	no	—
12	#2951	—	2	4	no	—
13	C₂×#440	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
20	#2879	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1975	—	2	4	no	—
24	#1974	—	2	4	no	—
25	#1822	—	2	4	no	—
26	#1821	—	2	4	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	#1742	C₂²	1	2	yes	—
29	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
31	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1736	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	—	2	2	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	D₄	1	4	yes	—
39	C₂×#135	D₄	1	4	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#520	—	2	8	no	—
48	#520	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	#440	—	2	16	no	—
58	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
59	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×D₈	—	2	4	no	—
61	C₄×D₈	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	2	2	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	C₂×#108	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	—	2	2	no	—
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#421	—	2	8	no	—
71	#421	—	4	4	no	—
72	C₂×#104	—	2	8	no	—
73	#417	—	2	8	no	—
74	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#408	—	2	8	no	—
77	#408	—	4	4	no	—
78	#407	—	2	8	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#344	—	2	4	no	—
88	#343	—	2	8	no	—
89	#343	—	2	2	no	—
90	#343	—	2	2	no	—
91	#343	D₄	1	2	yes	—
92	#343	D₄	1	2	yes	—
93	#342	—	2	2	no	—
94	#340	—	4	4	no	—
95	#338	—	4	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	#135	—	2	8	no	—
112	#135	—	2	8	no	—
113	#135	—	2	8	no	—
114	#135	—	2	8	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	16	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	4	8	no	—
163	#117	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	#108	—	4	4	no	—
180	#108	—	4	4	no	—
181	#107	—	2	2	no	—
182	#107	—	2	2	no	—
183	#107	—	2	4	no	—
184	#104	—	4	16	no	—
185	#103	—	2	8	no	—
186	#102	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
188	#97	—	2	4	no	—
189	#97	—	4	4	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	2	8	no	—
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	—	4	4	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	2	4	no	—
243	Q₁₆	—	2	4	no	—
244	SD₁₆	—	2	16	no	—
245	D₈	—	2	4	no	—
246	D₈	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	4	1	no	—
296	C₂³	—	4	1	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	#529	1	2	yes	—
303	C₂³	#546	1	2	yes	—
304	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	2	4	no	—
307	Q₈	—	2	4	no	—
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	2	no	—
310	D₄	—	2	4	no	—
311	D₄	—	2	4	no	—
312	D₄	—	4	8	no	—
313	D₄	—	4	8	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	16	8	no	—
331	C₂×C₄	—	16	4	no	—
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	8	4	no	—
353	C₈	#381	1	2	yes	—
354	C₈	#381	1	2	yes	—
355	C₈	#381	1	4	yes	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2420	1	2	yes	—
372	C₂²	#2447	1	2	yes	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2319	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2357	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2422	1	2	yes	—
383	C₄	#2445	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	8	4	no	—
389	C₂	#13916	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#22458	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#22460	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20695	C₂	semidirect
4. #11185	C₂	semidirect
5. #10870	C₂	semidirect
6. #10867	C₂	semidirect
7. #10775	C₂	semidirect
8. #10711	C₂	semidirect
13. C₂×#440	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2951	2
#21240	2
#20695	2
#11185	2
#10870	2
#10867	2
#10775	2
#10711	2