Subgroups — #362609

Order 512.

1418 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1974	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20630	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11068	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10790	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1974	—	2	8	no	—
24	#1945	—	2	8	no	—
25	#1798	—	2	4	no	—
26	#1797	—	2	4	no	—
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	#1728	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	D₄	1	4	yes	—
37	C₂×#135	Q₈	1	4	yes	—
38	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	—	2	8	no	—
46	C₄×#41	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#117	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
56	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
57	C₄×D₈	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	#427	D₄	1	8	yes	—
62	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#424	—	2	8	no	—
65	#424	—	4	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
67	C₂×#104	—	2	8	no	—
68	C₂×#104	—	2	8	no	—
69	C₂×#104	—	4	4	no	—
70	#416	—	2	8	no	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#408	—	2	8	no	—
74	#408	—	4	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	#341	—	4	2	no	—
84	#339	—	2	8	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#336	D₄	1	2	yes	—
89	#336	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	#135	—	2	16	no	—
107	#135	—	2	16	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
142	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	16	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	4	8	no	—
149	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
168	#108	—	4	8	no	—
169	#107	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
170	#106	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
172	#104	—	4	16	no	—
173	#103	—	2	8	no	—
174	#102	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	4	8	no	—
179	#95	—	2	8	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	#41	—	2	8	no	—
183	#41	—	2	8	no	—
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	4	4	no	—
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
235	Q₁₆	—	2	8	no	—
236	SD₁₆	—	2	16	no	—
237	D₈	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	4	8	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#529	1	2	yes	—
289	C₂³	#546	1	2	yes	—
290	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	2	4	no	—
293	Q₈	—	2	4	no	—
294	Q₈	—	4	2	no	—
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	16	no	—
322	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	4	4	no	—
343	C₈	—	8	4	no	—
344	C₈	#380	1	4	yes	—
345	C₈	#380	1	4	yes	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2427	1	2	yes	—
360	C₂²	#2454	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
362	C₂²	#2957	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2319	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2341	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2428	1	2	yes	—
373	C₄	#2452	1	2	yes	—
374	C₂	—	2	2	no	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	8	4	no	—
377	C₂	#13920	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#21292	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#21294	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#22454	1	2	yes	—
381	C₂	#22688	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#336 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1945	C₂	semidirect
4. #20630	C₂	semidirect
5. #11068	C₂	semidirect
6. #10864	C₂	semidirect
7. #10790	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
13. C₂×C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₂×#1974	2
C₂×#1945	2
#20630	2
#11068	2
#10864	2
#10790	2
C₈×#95	2