Subgroups — #362615

Order 512.

1271 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21248	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1953	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20673	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11116	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10699	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	#2957	—	2	4	no	—
12	#2957	—	2	4	no	—
13	C₂×#444	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#443	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
19	#2896	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1979	—	2	2	no	—
24	#1978	—	2	2	no	—
25	#1977	—	2	4	no	—
26	#1953	—	2	4	no	—
27	#1953	—	2	4	no	—
28	#1813	—	2	8	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
30	#1742	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#135	—	2	2	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×#135	Q₈	1	2	yes	—
43	C₂×#135	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	#568	—	2	8	no	—
48	#568	—	4	4	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#444	—	2	16	no	—
60	#443	—	2	8	no	—
61	#443	—	2	8	no	—
62	#430	—	2	8	no	—
63	#430	—	4	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	8	no	—
65	C₂×#108	—	2	2	no	—
66	C₂×#108	—	2	2	no	—
67	C₂×#108	—	2	2	no	—
68	C₂×#108	—	2	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#108	D₄	1	4	yes	—
75	#421	—	2	8	no	—
76	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#419	—	2	4	no	—
78	#418	—	2	4	no	—
79	#417	—	4	4	no	—
80	#416	—	2	8	no	—
81	#413	—	2	8	no	—
82	#413	—	4	4	no	—
83	C₂×#101	—	2	4	no	—
84	C₂×#100	—	2	4	no	—
85	#405	—	2	2	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	#405	—	2	2	no	—
89	#405	—	2	2	no	—
90	#405	—	2	2	no	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#344	—	2	8	no	—
96	#343	—	4	2	no	—
97	#338	—	2	4	no	—
98	#338	D₄	1	4	yes	—
99	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
100	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#135	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	#135	—	2	4	no	—
117	#135	—	2	2	no	—
118	#135	—	2	2	no	—
119	#135	—	2	4	no	—
120	#135	—	2	4	no	—
121	#135	—	2	4	no	—
122	#135	—	2	4	no	—
123	#135	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	#131	—	2	16	no	—
137	#131	—	4	8	no	—
138	#131	—	4	16	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
156	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	#41	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	#108	—	4	16	no	—
189	#108	—	4	2	no	—
190	#108	—	4	2	no	—
191	#108	—	4	2	no	—
192	#108	—	4	2	no	—
193	#108	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	#108	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	#108	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
196	#104	—	2	16	no	—
197	#103	—	4	8	no	—
198	#102	—	4	8	no	—
199	#101	—	4	8	no	—
200	#100	—	4	8	no	—
201	#97	—	2	4	no	—
202	#97	—	4	2	no	—
203	#97	—	4	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	2	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	2	4	no	—
212	#41	—	2	4	no	—
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	Q₁₆	—	2	2	no	—
250	Q₁₆	—	2	2	no	—
251	Q₁₆	—	2	4	no	—
252	SD₁₆	—	2	4	no	—
253	SD₁₆	—	2	4	no	—
254	SD₁₆	—	2	8	no	—
255	D₈	—	2	2	no	—
256	D₈	—	2	2	no	—
257	D₈	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	4	16	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	16	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	8	1	no	—
315	C₂³	—	16	2	no	—
316	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#542	1	2	yes	—
318	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#548	1	2	yes	—
320	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	2	4	no	—
322	Q₈	—	2	4	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	2	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	2	8	no	—
358	C₈	—	2	4	no	—
359	C₈	—	4	4	no	—
360	C₈	—	8	4	no	—
361	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
362	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
363	C₈	#380	1	2	yes	—
364	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
365	C₈	#380	1	1	yes	characteristic
366	C₈	#380	1	2	yes	—
367	C₂²	—	4	1	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	1	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	1	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	—	16	4	no	—
375	C₂²	#2319	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2427	1	2	yes	—
379	C₂²	#2452	1	2	yes	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
385	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2428	1	2	yes	—
388	C₄	#2454	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	2	1	no	—
391	C₂	—	2	1	no	—
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	—	2	2	no	—
394	C₂	—	8	4	no	—
395	C₂	#13920	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2293
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#13920
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1953	C₂	semidirect
4. #20673	C₂	semidirect
5. #11116	C₂	semidirect
6. #10867	C₂	semidirect
7. #10793	C₂	semidirect
8. #10699	C₂	semidirect
13. C₂×#444	C₄	semidirect
14. C₂×#443	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2957	2
#21248	2
C₂×#1953	2
#20673	2
#11116	2
#10867	2
#10793	2
#10699	2