Subgroups — #362623

Order 512.

1368 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21230	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20664	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11113	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10774	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#443	—	2	8	no	—
12	C₂×#443	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2311	C₂²	1	4	yes	—
21	#1973	—	2	4	no	—
22	#1970	—	2	2	no	—
23	#1969	—	2	2	no	—
24	#1952	—	2	8	no	—
25	#1809	—	2	4	no	—
26	#1808	—	2	2	no	—
27	#1807	—	2	2	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#135	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂×#131	—	4	4	no	—
45	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#443	—	2	32	no	—
56	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
58	#428	—	2	8	no	—
59	#428	—	4	4	no	—
60	C₂×#107	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×#104	—	2	8	no	—
67	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#417	—	2	8	no	—
69	#417	—	4	4	no	—
70	C₂×#103	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	#405	—	2	4	no	—
73	#405	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#391	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#386	—	4	4	no	—
81	#380	—	2	4	no	—
82	#380	—	2	4	no	—
83	C₂×#95	—	4	2	no	—
84	#343	—	2	8	no	—
85	#341	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	2	no	—
88	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
89	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#340	D₄	1	2	yes	—
91	#339	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#135	—	2	8	no	—
108	#135	—	2	8	no	—
109	#135	—	2	16	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
114	C₂×D₈	—	2	4	no	—
115	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
116	#131	—	2	16	no	—
117	#131	—	4	8	no	—
118	#131	—	4	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	#108	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
168	#107	—	4	8	no	—
169	#107	—	4	4	no	—
170	#107	—	4	4	no	—
171	#106	—	4	8	no	—
172	#104	—	2	16	no	—
173	#103	—	4	8	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#97	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	4	4	no	—
178	#95	—	4	4	no	—
179	#95	—	4	4	no	—
180	#95	—	8	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
183	#41	—	2	4	no	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	4	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	8	no	—
188	#41	—	2	8	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
232	Q₁₆	—	2	8	no	—
233	SD₁₆	—	2	16	no	—
234	D₈	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	4	16	no	—
240	M₁₆	—	4	2	no	—
241	M₁₆	—	4	2	no	—
242	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	16	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#540	1	2	yes	—
290	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#550	1	2	yes	—
292	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	2	4	no	—
294	Q₈	—	2	4	no	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	16	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	—	2	8	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	#380	1	4	yes	—
346	C₈	#380	1	4	yes	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	#2319	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#2428	1	2	yes	—
364	C₂²	#2454	1	2	yes	—
365	C₂²	#3290	1	2	yes	—
366	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	4	4	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	16	4	no	—
373	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
375	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2427	1	2	yes	—
378	C₄	#2452	1	2	yes	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	2	2	no	—
382	C₂	—	8	4	no	—
383	C₂	#13920	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#22690	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#22692	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#25441	1	2	yes	—
387	C₂	#25442	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1952	C₂	semidirect
4. #20664	C₂	semidirect
5. #11113	C₂	semidirect
6. #10862	C₂	semidirect
7. #10774	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
12. C₂×#443	C₄	semidirect
167. #108	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
#21230	2
C₂×#1952	2
#20664	2
#11113	2
#10862	2
#10774	2
#10706	2