Subgroups — #362626

Order 512.

1304 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21240	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1953	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11114	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10773	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#443	—	2	8	no	—
12	C₂×#443	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#443	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
19	#2879	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1975	—	2	4	no	—
23	#1974	—	2	4	no	—
24	#1953	—	2	8	no	—
25	#1811	—	2	4	no	—
26	#1810	—	2	4	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#135	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×#135	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	8	no	—
45	C₂×#131	—	4	4	no	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#443	—	2	16	no	—
57	#443	—	2	16	no	—
58	#430	—	2	8	no	—
59	#430	—	4	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	8	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	2	2	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
68	#421	—	2	8	no	—
69	#421	—	4	4	no	—
70	C₂×#104	—	2	8	no	—
71	C₂×#104	—	2	8	no	—
72	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#408	—	2	8	no	—
74	#408	—	4	4	no	—
75	#407	—	2	8	no	—
76	#405	—	2	4	no	—
77	#405	—	2	4	no	—
78	C₂×#97	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#344	—	2	8	no	—
84	#341	—	2	2	no	—
85	#341	—	2	2	no	—
86	#341	D₄	1	2	yes	—
87	#341	D₄	1	2	yes	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#339	—	2	4	no	—
90	#336	—	4	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	#135	—	2	4	no	—
106	#135	—	2	4	no	—
107	#135	—	2	4	no	—
108	#135	—	2	4	no	—
109	#135	—	2	8	no	—
110	#135	—	2	8	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×D₈	—	2	4	no	—
118	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	#131	—	2	16	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	16	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	#108	—	4	16	no	—
172	#108	—	4	4	no	—
173	#108	—	4	4	no	—
174	#108	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
175	#108	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	#104	—	2	16	no	—
177	#104	—	4	16	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
179	#97	—	4	4	no	—
180	C₄×C₈	—	2	4	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	2	4	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	4	no	—
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	—	2	8	no	—
190	#41	—	2	8	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
226	Q₁₆	—	2	4	no	—
227	Q₁₆	—	2	4	no	—
228	SD₁₆	—	2	8	no	—
229	SD₁₆	—	2	8	no	—
230	D₈	—	2	4	no	—
231	D₈	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	4	16	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	M₁₆	—	4	2	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	M₁₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	16	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	#542	1	2	yes	—
287	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#548	1	2	yes	—
289	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	D₄	—	2	4	no	—
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	2	no	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	8	no	—
331	C₈	—	4	4	no	—
332	C₈	—	8	4	no	—
333	C₈	#380	1	2	yes	—
334	C₈	#380	1	2	yes	—
335	C₈	#380	1	2	yes	—
336	C₈	#380	1	2	yes	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	#2319	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2427	1	2	yes	—
349	C₂²	#2452	1	2	yes	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	8	4	no	—
353	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
355	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2428	1	2	yes	—
358	C₄	#2454	1	2	yes	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	2	no	—
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	8	4	no	—
364	C₂	#13920	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#22694	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1953	C₂	semidirect
4. #20669	C₂	semidirect
5. #11114	C₂	semidirect
6. #10864	C₂	semidirect
7. #10773	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
12. C₂×#443	C₄	semidirect
13. C₂×#443	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
#21240	2
C₂×#1953	2
#20669	2
#11114	2
#10864	2
#10773	2
#10706	2