Subgroups — #362721

Order 512.

3758 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1987	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11384	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10730	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂⁴×Q₈	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
23	#1987	—	2	16	no	—
24	#1797	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	16	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
28	#1434	—	2	1	no	—
29	C₂²⋊#95	—	2	1	no	—
30	C₄×#95	—	2	1	no	—
31	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
32	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
33	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
34	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
35	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
36	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
37	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
78	#380	—	2	4	no	—
79	#380	Q₈	1	8	yes	complemented
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	C₂×#95	—	2	2	no	—
84	C₂×#95	—	2	2	no	—
85	C₂×#95	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	32	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	SD₁₆	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
138	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
176	#95	—	2	8	no	—
177	#95	—	4	4	no	—
178	#95	—	4	4	no	—
179	#95	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
188	C₂⁴	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	256	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	#103	1	16	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	8	no	—
276	C₄²	—	2	8	no	—
277	C₄²	—	8	8	no	—
278	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
279	C₄²	#120	1	8	yes	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	#391	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂×#103	1	4	yes	—
294	C₂³	#418	1	4	yes	—
295	C₂³	#476	1	8	yes	—
296	C₂³	#477	1	8	yes	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂³	#536	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
304	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
306	Q₈	—	4	64	no	—
307	Q₈	—	4	64	no	—
308	C₂×C₄	—	2	32	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	32	no	—
326	C₂×C₄	—	2	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	64	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	32	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#448	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#451	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#548	1	8	yes	—
355	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	—
356	C₈	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	16	no	—
364	C₂²	—	2	16	no	—
365	C₂²	#1987	1	8	yes	complemented
366	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2310	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2409	1	4	yes	—
370	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#448	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂×#451	1	2	yes	—
376	C₂²	#3003	1	4	yes	—
377	C₂²	C₂×#476	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂×#477	1	2	yes	—
379	C₂²	#3079	1	4	yes	—
380	C₂²	#3227	1	2	yes	—
381	C₂²	#3230	1	2	yes	—
382	C₂²	#3238	1	4	yes	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	2	4	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	4	16	no	—
388	C₄	—	8	8	no	—
389	C₄	#1787	1	8	yes	—
390	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
391	C₄	#2434	1	2	yes	—
392	C₄	#2436	1	2	yes	—
393	C₂	—	2	8	no	—
394	C₂	#13922	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×#1787	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#20598	1	1	yes	characteristic
397	C₂	C₂×#1987	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#21313	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#21834	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#21840	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#24299	1	4	yes	—
402	C₂	#24302	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1987	C₂	semidirect
5. #11384	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
79. #380	Q₈	semidirect
138. C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
155. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
365. C₂²	#1987	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1987	2
C₂×#1797	2
C₄×#380	2
#11384	2
#10730	2