Subgroups — #36273

Order 256.

1288 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2610	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2555	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2414	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#555	—	2	16	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#395	C₂²	1	4	yes	—
43	#394	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#393	C₂²	1	4	yes	—
46	#392	C₂²	1	4	yes	—
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#390	C₂²	1	2	yes	—
53	#390	C₂²	1	4	yes	—
54	#390	C₂²	1	4	yes	—
55	#390	C₂²	1	2	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#389	C₂²	1	2	yes	—
59	#389	C₂²	1	2	yes	—
60	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#388	C₂²	1	4	yes	—
62	#388	C₂²	1	2	yes	—
63	#388	C₂²	1	4	yes	—
64	#388	C₂²	1	4	yes	—
65	#388	C₂²	1	4	yes	—
66	#386	C₂²	1	4	yes	—
67	#386	C₂²	1	4	yes	—
68	#386	C₂²	1	2	yes	—
69	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#380	C₂²	1	2	yes	—
71	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	#376	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
100	#127	—	2	4	no	—
101	#127	—	4	4	no	—
102	#124	—	2	16	no	—
103	#124	—	2	16	no	—
104	#124	—	4	8	no	—
105	#121	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	8	no	—
107	#121	—	2	8	no	—
108	#121	—	2	4	no	—
109	#121	—	2	16	no	—
110	#121	—	4	4	no	—
111	#121	—	4	4	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	8	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	#117	—	2	8	no	—
117	#117	—	2	4	no	—
118	#117	—	2	16	no	—
119	#117	D₄	1	8	yes	complemented
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
272	C₄²	#41	1	4	yes	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	8	8	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	8	no	—
302	D₄	—	8	8	no	—
303	D₄	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	16	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	1	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	4	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	1	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	#532	1	4	yes	—
392	C₄	#555	1	4	yes	complemented
393	C₂	—	4	2	no	—
394	C₂	—	8	2	no	—
395	C₂	—	8	4	no	—
396	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
397	C₂	D₄×#41	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#555	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#3483	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#3494	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#3514	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#555	C₂	semidirect
2. #2858	C₂	semidirect
3. #2856	C₂	semidirect
4. #2610	C₂	semidirect
5. #2555	C₂	semidirect
6. #2551	C₂	semidirect
7. #2541	C₂	semidirect
8. #2491	C₂	semidirect
9. #2491	C₂	semidirect
10. #2428	C₂	semidirect
11. #2414	C₂	semidirect
12. #2366	C₂	semidirect
13. #2363	C₂	semidirect
14. #2354	C₂	semidirect
15. C₄×#121	C₂	semidirect
16. #2293	C₂	semidirect
17. C₄×#117	C₂	semidirect
119. #117	D₄	semidirect
392. C₄	#555	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#555	2
#2858	2
#2856	2
#2610	2
#2555	2
#2551	2
#2541	2
#2491	2
#2428	2
#2414	2
#2366	2
#2363	2
#2354	2
C₄×#121	2
#2293	2
C₄×#117	2