Subgroups — #36274

Order 256.

1322 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2582	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2451	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2450	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2439	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2438	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2349	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2339	C₂	1	2	yes	maximal
16	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₂×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#41	—	2	8	no	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#400	C₂²	1	4	yes	—
43	#398	C₂²	1	4	yes	—
44	#398	C₂²	1	4	yes	—
45	#396	C₂²	1	4	yes	—
46	#395	C₂²	1	4	yes	—
47	#393	C₂²	1	4	yes	—
48	#391	C₂²	1	2	yes	—
49	#391	C₂²	1	2	yes	—
50	#391	C₂²	1	2	yes	—
51	#391	C₂²	1	2	yes	—
52	#391	C₂²	1	2	yes	—
53	#391	C₂²	1	2	yes	—
54	#391	C₂²	1	4	yes	—
55	#391	C₂²	1	4	yes	—
56	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#389	C₂²	1	2	yes	—
58	#389	C₂²	1	2	yes	—
59	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#389	C₂²	1	2	yes	—
61	#389	C₂²	1	2	yes	—
62	#389	C₂²	1	2	yes	—
63	#387	C₂²	1	4	yes	—
64	#387	C₂²	1	4	yes	—
65	#387	C₂²	1	2	yes	—
66	#386	C₂²	1	4	yes	—
67	#386	C₂²	1	4	yes	—
68	#385	C₂²	1	4	yes	—
69	#385	C₂²	1	4	yes	—
70	#385	C₂²	1	4	yes	—
71	#385	C₂²	1	2	yes	—
72	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#382	C₂²	1	2	yes	—
74	#381	C₂²	1	4	yes	—
75	#380	C₂²	1	2	yes	—
76	#380	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#380	C₂²	1	4	yes	—
79	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
84	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	Q₈	1	8	yes	complemented
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	4	no	—
115	C₄×D₄	—	2	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	8	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
120	#117	—	2	4	no	—
121	#117	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	2	yes	—
170	#95	C₂³	1	2	yes	—
171	#95	C₂³	1	2	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
178	#41	—	2	32	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
190	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
191	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	complemented
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
197	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
221	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	8	no	—
289	Q₈	—	2	8	no	—
290	Q₈	—	4	16	no	—
291	Q₈	—	4	8	no	—
292	D₄	—	2	16	no	—
293	D₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	8	no	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
361	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
382	C₄	#546	1	4	yes	—
383	C₂	—	2	8	no	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
387	C₂	Q₈×#41	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#3482	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#3489	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#3503	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#3514	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
4. #2855	C₂	semidirect
5. #2582	C₂	semidirect
6. #2568	C₂	semidirect
7. #2451	C₂	semidirect
8. #2450	C₂	semidirect
9. #2439	C₂	semidirect
10. #2438	C₂	semidirect
11. #2417	C₂	semidirect
12. #2409	C₂	semidirect
13. #2349	C₂	semidirect
14. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
16. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
17. C₂×#391	C₂	semidirect
87. C₂×#41	Q₈	semidirect
190. C₂×Q₈	C₂×Q₈	semidirect
191. C₂×Q₈	#41	semidirect
196. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
220. C₂²×C₄	C₂×Q₈	semidirect
221. C₂²×C₄	C₂×Q₈	semidirect
293. D₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×C₄×#41	2
#2857	2
#2855	2
#2582	2
#2568	2
#2451	2
#2450	2
#2439	2
#2438	2
#2417	2
#2409	2
#2349	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2339	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#391	2