Subgroups — #362829

Order 512.

1240 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20634	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10889	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10765	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10758	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#520	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
15	#2873	C₂²	1	2	yes	—
16	#2351	—	2	2	no	—
17	#2349	—	2	4	no	—
18	#2349	—	2	2	no	—
19	#2317	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2317	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2317	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2317	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2316	C₂²	1	2	yes	—
24	#2285	C₄	1	2	yes	complemented
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#382	C₄	1	2	yes	complemented
27	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1799	—	2	4	no	—
29	C₄×#101	—	2	2	no	—
30	C₄×#100	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
32	#1740	C₂²	1	2	yes	—
33	#1736	C₂²	1	4	yes	—
34	#1733	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	#520	—	4	4	no	—
40	#520	—	4	4	no	—
41	C₄×#41	—	2	4	no	—
42	C₄×#41	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#413	—	2	4	no	—
66	#413	Q₈	1	8	yes	—
67	C₂×#101	—	2	2	no	—
68	C₂×#100	—	2	2	no	—
69	#410	—	2	4	no	—
70	#410	—	2	4	no	—
71	C₂×#99	—	2	4	no	—
72	#405	—	4	4	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
74	#389	—	2	4	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#389	—	2	4	no	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#389	—	4	4	no	—
79	#385	—	2	4	no	—
80	#385	—	2	2	no	—
81	#385	—	2	4	no	—
82	#385	—	2	2	no	—
83	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#382	—	2	4	no	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	#380	—	2	4	no	—
96	#380	—	2	2	no	—
97	#380	—	2	4	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×#95	—	2	4	no	—
101	C₂×#95	—	2	2	no	—
102	#343	—	2	4	no	—
103	#342	—	2	4	no	—
104	#340	—	4	4	no	—
105	#339	—	2	8	no	—
106	#339	—	4	4	no	—
107	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	16	no	—
135	C₄×D₄	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	8	no	—
138	C₄×D₄	—	4	8	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	4	4	no	—
150	#117	—	4	4	no	—
151	#117	#41	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
195	#101	—	2	8	no	—
196	#100	—	2	8	no	—
197	#99	—	4	8	no	—
198	#97	—	4	4	no	—
199	C₄×C₈	—	4	4	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	#95	—	2	2	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	2	no	—
206	#95	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	2	8	no	—
210	#41	—	2	8	no	—
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	#124	1	4	yes	—
222	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
259	M₁₆	—	2	8	no	—
260	M₁₆	—	2	8	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	4	4	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	#117	1	2	yes	—
305	C₄²	#117	1	4	yes	—
306	C₄²	#117	1	2	yes	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	4	1	no	—
310	C₂³	—	4	1	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	#391	1	4	yes	—
314	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#525	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#534	1	2	yes	—
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	D₄	—	2	8	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	8	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	16	4	no	—
355	C₂×C₄	—	16	2	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
369	C₈	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2583	1	2	yes	—
386	C₂²	#2591	1	2	yes	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	8	1	no	—
395	C₄	—	8	2	no	—
396	C₄	—	8	1	no	—
397	C₄	—	16	4	no	—
398	C₄	#2345	1	2	yes	—
399	C₄	#2345	1	2	yes	—
400	C₄	#2579	1	4	yes	—
401	C₂	—	2	1	no	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	4	4	no	—
406	C₂	#13923	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#21784	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#21785	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11224	C₂	semidirect
5. #11211	C₂	semidirect
6. #10893	C₂	semidirect
7. #10889	C₂	semidirect
19. #2317	C₄	semidirect
20. #2317	C₄	semidirect
24. #2285	C₄	semidirect
26. C₂×#382	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34184	2
#20634	2
#20397	2
#11224	2
#11211	2
#10893	2
#10889	2
#10765	2
#10758	2