Subgroups — #36289

Order 256.

1573 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2563	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2504	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2490	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2472	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#554	—	2	8	no	—
18	D₄²	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#390	C₂²	1	2	yes	—
44	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
61	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
64	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
69	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
85	#127	—	2	4	no	—
86	#125	—	2	8	no	—
87	#124	—	2	4	no	—
88	#124	—	4	8	no	—
89	#124	—	4	4	no	—
90	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
92	#121	—	2	8	no	—
93	#121	—	2	8	no	—
94	#120	—	2	16	no	—
95	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
96	C₄×D₄	—	2	8	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	C₄×D₄	—	2	4	no	—
99	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	#95	C₂³	1	2	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂⁴	—	2	8	no	—
138	C₂⁴	—	2	8	no	—
139	C₂⁴	—	2	16	no	—
140	C₂⁴	—	4	8	no	—
141	C₂⁴	—	4	4	no	—
142	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	8	no	—
152	C₂×D₄	—	2	16	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	8	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	32	no	—
163	C₂×D₄	—	4	4	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	32	no	—
166	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
168	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	4	4	no	—
218	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	4	16	no	—
232	C₂³	—	4	32	no	—
233	C₂³	—	4	16	no	—
234	C₂³	—	8	8	no	—
235	C₂³	—	8	16	no	—
236	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
238	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
239	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
240	Q₈	—	4	4	no	—
241	Q₈	—	8	4	no	—
242	D₄	—	2	8	no	—
243	D₄	—	4	16	no	—
244	D₄	—	4	16	no	—
245	D₄	—	4	8	no	—
246	D₄	—	4	8	no	—
247	D₄	—	8	4	no	—
248	D₄	#124	1	16	yes	complemented
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	8	8	no	—
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	8	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	2	8	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	8	no	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	4	8	no	—
295	C₂²	—	8	32	no	—
296	C₂²	C₂×#124	1	8	yes	—
297	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
312	C₄	#546	1	4	yes	—
313	C₂	—	2	8	no	—
314	C₂	—	4	4	no	—
315	C₂	—	8	4	no	—
316	C₂	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#3481	1	2	yes	—
319	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#3519	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×D₄²	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#554	C₂	semidirect
3. #2858	C₂	semidirect
4. #2850	C₂	semidirect
5. #2563	C₂	semidirect
6. #2548	C₂	semidirect
7. #2504	C₂	semidirect
8. #2490	C₂	semidirect
9. #2472	C₂	semidirect
10. #2435	C₂	semidirect
11. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₄×#124	C₂	semidirect
13. C₂×#390	C₂	semidirect
14. C₄²×D₄	C₂	semidirect
19. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
37. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
38. #397	C₂²	semidirect
39. #394	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #393	C₂²	semidirect
42. #391	C₂²	semidirect
45. #390	C₂²	semidirect
46. #390	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #388	C₂²	semidirect
53. #386	C₂²	semidirect
54. #386	C₂²	semidirect
55. #382	C₂²	semidirect
56. #382	C₂²	semidirect
57. #380	C₂²	semidirect
58. #379	C₂²	semidirect
59. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
60. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
61. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
62. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄³	C₂²	semidirect
248. D₄	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
C₂×D₄²	2
#2858	2
#2850	2
#2563	2
#2548	2
#2504	2
#2490	2
#2472	2
#2435	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
C₄×#124	2
C₂×#390	2
C₄²×D₄	2