Subgroups — #363147

Order 512.

725 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄⋊C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#11300	C₂	1	4	yes	maximal
3	#10855	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10851	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10825	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10813	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2285	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1771	C₄	1	4	yes	complemented
16	#1770	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
27	#1728	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
35	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#423	—	2	2	no	—
38	#423	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
48	C₂×#97	—	2	2	no	—
49	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#384	—	2	2	no	—
55	#382	—	2	2	no	—
56	#380	—	2	2	no	—
57	#380	—	2	2	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
60	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#95	—	2	1	no	—
66	#344	—	4	4	no	—
67	#344	—	4	4	no	—
68	#339	—	2	8	no	—
69	#339	—	4	4	no	—
70	#338	—	2	4	no	—
71	#338	—	2	2	no	—
72	#338	Q₈	1	4	yes	—
73	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
74	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
75	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
104	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	#117	—	2	4	no	—
111	#117	—	2	4	no	—
112	#117	—	2	4	no	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
139	#97	—	2	4	no	—
140	#97	—	4	4	no	—
141	#97	—	4	2	no	—
142	#97	—	4	2	no	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	4	4	no	—
146	C₄×C₈	—	4	2	no	—
147	C₄×C₈	—	4	2	no	—
148	#95	—	2	1	no	—
149	#95	—	2	2	no	—
150	#95	—	2	1	no	—
151	#95	—	4	2	no	—
152	#95	—	4	2	no	—
153	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
162	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
180	M₁₆	—	2	4	no	—
181	M₁₆	—	2	4	no	—
182	M₁₆	—	2	4	no	—
183	M₁₆	—	2	4	no	—
184	M₁₆	—	2	4	no	—
185	M₁₆	—	2	4	no	—
186	M₁₆	—	4	4	no	—
187	M₁₆	—	4	4	no	—
188	M₁₆	—	4	2	no	—
189	M₁₆	—	4	2	no	—
190	M₁₆	—	4	2	no	—
191	M₁₆	—	4	2	no	—
192	M₁₆	—	4	2	no	—
193	M₁₆	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	4	4	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₄²	—	4	4	no	—
225	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	#117	1	2	yes	—
228	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	#117	1	2	yes	—
230	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	#126	1	2	yes	—
232	C₄²	#126	1	2	yes	—
233	C₄²	#126	1	2	yes	—
234	C₄²	#126	1	2	yes	—
235	C₂³	—	4	1	no	—
236	C₂³	—	4	1	no	—
237	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
239	C₂³	#557	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	#559	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#559	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	8	no	—
257	C₂×C₄	—	8	4	no	—
258	C₂×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#383	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#383	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#383	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	4	no	—
285	C₈	—	4	4	no	—
286	C₈	—	4	2	no	—
287	C₈	—	4	4	no	—
288	C₈	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	2	1	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	1	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	C₂×#383	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#2357	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	#2511	1	2	yes	—
300	C₂²	#2513	1	2	yes	—
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	1	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	1	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	8	2	no	—
308	C₄	—	16	4	no	—
309	C₄	#1841	1	2	yes	—
310	C₄	#2295	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#2319	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#2345	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#2346	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2494	1	2	yes	—
315	C₄	#2497	1	2	yes	—
316	C₂	—	2	1	no	—
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	—	2	1	no	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	#13936	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#1841	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20776	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#383
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. #1771	C₄	semidirect
16. #1770	C₄	semidirect
17. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄⋊C₄×M₁₆	2
#11300	2
#10855	2
#10851	2
#10837	2
#10825	2
#10813	2
C₄×#338	2