Subgroups — #363370

Order 512.

1228 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34048	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20377	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#13852	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11201	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10808	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	#2314	C₄	1	4	yes	complemented
12	#2314	C₄	1	4	yes	complemented
13	#2313	—	2	2	no	—
14	#2312	—	2	2	no	—
15	#2298	—	2	4	no	—
16	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2280	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#1750	—	2	4	no	—
23	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
25	#1728	C₂²	1	2	yes	—
26	#1441	—	2	2	no	—
27	#1439	—	2	2	no	—
28	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂×#117	—	2	4	no	—
32	C₂×#117	—	2	4	no	—
33	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
36	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#407	—	2	8	no	—
46	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
47	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×#97	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
51	#388	—	2	8	no	—
52	#388	—	2	8	no	—
53	#387	—	2	8	no	—
54	#387	—	2	8	no	—
55	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#381	—	2	2	no	—
60	#380	—	2	2	no	—
61	#380	—	2	2	no	—
62	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	#379	—	2	2	no	—
64	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
72	#376	—	2	2	no	—
73	C₂×#95	—	2	4	no	—
74	C₂×#95	—	2	2	no	—
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	C₄³	—	2	2	no	—
77	#339	—	2	16	no	—
78	#339	—	4	8	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	#117	—	2	4	no	—
101	#117	—	2	4	no	—
102	#117	—	2	4	no	—
103	#117	—	2	4	no	—
104	#117	—	2	8	no	—
105	#117	—	2	8	no	—
106	#117	—	2	8	no	—
107	#117	—	2	4	no	—
108	#117	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
145	#97	—	4	4	no	—
146	C₄×C₈	—	4	4	no	—
147	#95	—	2	8	no	—
148	#95	—	2	8	no	—
149	#95	—	2	4	no	—
150	#95	—	2	4	no	—
151	#95	—	4	8	no	—
152	#95	—	4	4	no	—
153	#95	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	—	2	1	no	—
155	C₂⁴	—	2	1	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
202	M₁₆	—	2	8	no	—
203	M₁₆	—	2	8	no	—
204	M₁₆	—	4	4	no	—
205	M₁₆	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	8	no	—
207	C₂×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
214	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	4	4	no	—
227	C₄²	—	4	4	no	—
228	C₄²	—	4	8	no	—
229	C₄²	—	4	8	no	—
230	C₄²	—	8	8	no	—
231	C₄²	#117	1	2	yes	—
232	C₄²	#117	1	2	yes	—
233	C₄²	#117	1	2	yes	—
234	C₄²	#117	1	2	yes	—
235	C₄²	#123	1	4	yes	—
236	C₄²	#123	1	4	yes	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	8	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	—	4	4	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	8	4	no	—
247	C₂³	—	8	2	no	—
248	C₂³	—	8	2	no	—
249	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
251	C₂³	#532	1	2	yes	—
252	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	4	no	—
281	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#552	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#555	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
294	C₈	—	4	8	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	8	4	no	—
305	C₂²	—	8	4	no	—
306	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#2499	1	2	yes	—
310	C₂²	#2500	1	2	yes	—
311	C₂²	#2901	1	4	yes	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	2	no	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	8	8	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	—	8	4	no	—
319	C₄	#2346	1	2	yes	—
320	C₄	#2347	1	2	yes	—
321	C₄	#2485	1	4	yes	—
322	C₂	—	2	2	no	—
323	C₂	—	2	2	no	—
324	C₂	—	8	2	no	—
325	C₂	#13939	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20706	1	2	yes	—
327	C₂	#21384	1	2	yes	—
328	C₂	#21901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10851	C₂	semidirect
6. #10851	C₂	semidirect
7. #10808	C₂	semidirect
11. #2314	C₄	semidirect
12. #2314	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34048	2
#20377	2
#13852	2
#11201	2
#10851	2
#10808	2