Subgroups — #364018

Order 512.

1874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11346	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11346	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10795	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10714	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄×#117	—	2	4	no	—
14	C₄×#117	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#376	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
23	#1817	—	2	4	no	—
24	C₂×#336	—	2	4	no	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
37	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#117	—	2	4	no	—
41	C₂×#117	—	2	4	no	—
42	C₂×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×#117	—	2	8	no	—
44	C₂×#117	C₈	1	8	yes	complemented
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
66	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	#376	—	2	8	no	—
76	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₄³	—	2	4	no	—
81	C₄³	—	2	4	no	—
82	#336	—	2	16	no	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	4	8	no	—
88	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
97	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	32	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
128	#117	—	2	32	no	—
129	#117	—	2	32	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
176	#95	—	2	4	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	16	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	16	no	—
258	C₂×C₈	—	4	32	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄²	—	2	16	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	8	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	16	no	—
281	C₄²	—	4	8	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	#381	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
302	C₂³	#407	1	4	yes	—
303	C₂³	#431	1	8	yes	—
304	C₂³	#432	1	8	yes	—
305	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
307	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
308	C₂³	#520	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
313	C₂³	#568	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	32	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	16	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	16	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#551	1	8	yes	—
369	C₂×C₄	#552	1	8	yes	—
370	C₈	—	4	8	no	—
371	C₈	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	2	16	no	—
373	C₂²	—	2	16	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	#1817	1	8	yes	—
381	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2343	1	4	yes	—
385	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#431	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#432	1	2	yes	—
391	C₂²	#2924	1	4	yes	—
392	C₂²	C₈×#41	1	2	yes	—
393	C₂²	#2965	1	2	yes	—
394	C₂²	#2970	1	4	yes	—
395	C₂²	#2988	1	2	yes	—
396	C₂²	#2989	1	2	yes	—
397	C₂²	#2990	1	4	yes	—
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	4	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	#2482	1	2	yes	—
408	C₄	#2484	1	2	yes	—
409	C₄	#2498	1	4	yes	—
410	C₂	—	2	8	no	—
411	C₂	#13958	1	1	yes	characteristic
412	C₂	C₂×#1817	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#20685	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#21373	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#21379	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#21847	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#21851	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#22589	1	4	yes	—
419	C₂	#22591	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂³×C₈
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11346	C₂	semidirect
5. #11346	C₂	semidirect
6. #10795	C₂	semidirect
44. C₂×#117	C₈	semidirect
138. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
139. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
170. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#117	2
C₂×#1817	2
C₂²×#336	2
#11346	2
#10795	2
#10714	2