Subgroups — #364062

Order 512.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1827	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11350	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10748	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10747	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2923	—	2	4	no	—
16	#2923	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#433	—	2	2	no	—
18	C₂×#432	—	2	2	no	—
19	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1827	—	2	4	no	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	#1742	C₂²	1	2	yes	—
30	#1738	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	#1735	C₂²	1	2	yes	—
33	#1733	—	2	2	no	—
34	#1733	C₂²	1	2	yes	—
35	#1733	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	—	2	2	no	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
40	#1729	C₂²	1	2	yes	—
41	#1729	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#568	—	2	4	no	—
44	#568	—	2	2	no	—
45	#568	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	4	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#520	—	2	4	no	—
55	#519	—	2	1	no	—
56	#518	—	2	2	no	—
57	#518	—	2	1	no	—
58	C₄×#41	—	2	2	no	—
59	C₄×#41	—	2	2	no	—
60	C₄×#41	—	4	2	no	—
61	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
66	C₂×#117	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#433	—	2	16	no	—
74	#432	—	2	16	no	—
75	#424	—	2	2	no	—
76	#424	—	2	2	no	—
77	#424	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
78	#424	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	#413	—	2	2	no	—
82	#413	—	2	2	no	—
83	C₂×#101	—	2	1	no	—
84	C₂×#100	—	2	1	no	—
85	#410	—	2	2	no	—
86	#410	—	2	2	no	—
87	C₂×#99	—	2	2	no	—
88	#408	—	2	2	no	—
89	#408	—	2	2	no	—
90	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×#97	—	2	1	no	—
98	C₂×#97	—	2	2	no	—
99	C₂×#97	—	2	1	no	—
100	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	#344	—	2	4	no	—
103	#343	—	2	4	no	—
104	#341	—	2	4	no	—
105	#341	—	4	2	no	—
106	#340	—	2	4	no	—
107	#339	—	2	4	no	—
108	#339	—	2	2	no	—
109	#339	—	2	4	no	—
110	#339	—	2	2	no	—
111	#339	—	4	2	no	—
112	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
113	#336	—	4	2	no	—
114	#336	—	4	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
122	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	#131	—	4	8	no	—
131	#131	—	4	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	8	no	—
175	C₄×D₄	—	2	4	no	—
176	C₄×D₄	—	2	8	no	—
177	C₄×D₄	—	4	4	no	—
178	C₄×D₄	—	4	8	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	—	2	1	no	—
181	#117	—	2	1	no	—
182	#117	—	2	4	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	4	2	no	—
192	#117	—	4	2	no	—
193	#117	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
194	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
222	#101	—	4	2	no	—
223	#100	—	4	2	no	—
224	#99	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
227	#97	—	2	4	no	—
228	#97	—	2	4	no	—
229	#97	—	2	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
232	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	#41	—	2	4	no	—
234	#41	—	2	4	no	—
235	#41	—	2	4	no	—
236	#41	—	2	4	no	—
237	#41	—	2	4	no	—
238	#41	—	2	4	no	—
239	#41	—	2	4	no	—
240	#41	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
244	C₂×Q₈	#123	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
250	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
251	C₂×D₄	#123	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	#123	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	2	4	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	2	4	no	—
285	M₁₆	—	4	8	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	2	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	2	no	—
293	M₁₆	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	4	8	no	—
302	C₂×C₈	—	4	1	no	—
303	C₂×C₈	—	4	1	no	—
304	C₂×C₈	—	4	1	no	—
305	C₂×C₈	—	4	1	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	1	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	1	no	—
310	C₂×C₈	—	4	1	no	—
311	C₂×C₈	—	4	1	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	—	4	2	no	—
314	C₂×C₈	—	4	2	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₂×C₈	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₄²	—	2	2	no	—
334	C₄²	—	2	1	no	—
335	C₄²	—	2	2	no	—
336	C₄²	—	2	1	no	—
337	C₄²	—	2	2	no	—
338	C₄²	—	2	8	no	—
339	C₄²	—	4	4	no	—
340	C₄²	—	4	2	no	—
341	C₄²	—	4	2	no	—
342	C₄²	—	4	2	no	—
343	C₄²	—	4	2	no	—
344	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
345	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
346	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
347	C₂³	—	2	2	no	—
348	C₂³	—	2	2	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	4	no	—
351	C₂³	#381	1	4	yes	—
352	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
353	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
354	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
355	C₂³	#551	1	2	yes	—
356	C₂³	#552	1	2	yes	—
357	Q₈	—	2	4	no	—
358	Q₈	—	2	4	no	—
359	D₄	—	2	8	no	—
360	D₄	—	2	8	no	—
361	D₄	—	2	4	no	—
362	D₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	8	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	2	no	—
382	C₂×C₄	—	16	4	no	—
383	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	4	2	no	—
404	C₈	—	4	4	no	—
405	C₈	—	4	2	no	—
406	C₈	—	4	2	no	—
407	C₈	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	2	4	no	—
410	C₂²	—	2	4	no	—
411	C₂²	—	4	1	no	—
412	C₂²	—	4	1	no	—
413	C₂²	—	4	2	no	—
414	C₂²	—	4	4	no	—
415	C₂²	—	4	4	no	—
416	C₂²	—	8	2	no	—
417	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2343	1	2	yes	—
419	C₂²	#2482	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2484	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2498	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	4	no	—
423	C₄	—	4	2	no	—
424	C₄	—	4	4	no	—
425	C₄	—	4	2	no	—
426	C₄	—	8	4	no	—
427	C₄	—	16	2	no	—
428	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#2343	1	2	yes	—
431	C₄	#2482	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#2484	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#2498	1	2	yes	—
434	C₂	—	2	1	no	—
435	C₂	—	2	2	no	—
436	C₂	—	2	1	no	—
437	C₂	—	2	2	no	—
438	C₂	—	4	4	no	—
439	C₂	#13958	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#27599	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2482
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11369	C₂	semidirect
5. #11350	C₂	semidirect
6. #10826	C₂	semidirect
7. #10819	C₂	semidirect
16. #2923	C₄	semidirect
77. #424	C₂×C₄	semidirect
78. #424	C₂×C₄	semidirect
95. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
100. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2923	2
C₂×#1827	2
#20343	2
#11369	2
#11350	2
#10826	2
#10819	2
#10753	2
#10752	2
#10748	2
#10747	2