Subgroups — #364068

Order 512.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11011	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10923	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10790	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
11	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₄×#127	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₄×#124	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₄×#121	—	2	2	no	—
15	C₄×#121	—	2	2	no	—
16	#2297	C₂²	1	2	yes	—
17	#2293	—	2	2	no	—
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
20	C₂×#376	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1839	—	2	2	no	—
24	#1839	—	2	2	no	—
25	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
26	#1728	C₂²	1	2	yes	—
27	#1728	C₂²	1	2	yes	—
28	#1728	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#95	—	2	2	no	—
30	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	#532	—	2	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#121	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	—	4	8	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#104	—	2	16	no	—
58	C₂×#104	—	2	16	no	—
59	C₂×#104	—	4	8	no	—
60	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#390	—	2	2	no	—
62	#390	—	2	2	no	—
63	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#389	—	2	2	no	—
65	#389	—	2	2	no	—
66	#388	—	2	4	no	—
67	#388	—	2	4	no	—
68	#386	—	2	2	no	—
69	#386	—	2	2	no	—
70	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#380	—	2	2	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	#376	—	2	16	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₂×#95	—	2	4	no	—
82	C₄³	—	2	8	no	—
83	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄³	D₄	1	2	yes	—
86	C₄³	D₄	1	2	yes	—
87	#339	—	4	8	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	8	no	—
94	C₂×#41	—	2	8	no	—
95	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	#127	—	2	4	no	—
115	#124	—	2	4	no	—
116	#124	—	2	4	no	—
117	#121	—	2	16	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
119	C₄×D₄	—	2	16	no	—
120	C₄×D₄	—	4	8	no	—
121	C₄×D₄	—	4	8	no	—
122	C₄×D₄	—	4	16	no	—
123	C₄×D₄	—	4	8	no	—
124	#117	—	2	8	no	—
125	#117	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
168	#104	—	4	32	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	#95	—	2	16	no	—
171	#95	—	2	4	no	—
172	#95	—	2	4	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	#41	—	2	16	no	—
177	#41	—	2	16	no	—
178	#41	—	4	8	no	—
179	#41	—	4	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
228	M₁₆	—	4	8	no	—
229	M₁₆	—	4	8	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄²	—	2	32	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	16	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	16	no	—
261	C₄²	—	4	8	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	4	8	no	—
264	C₄²	#104	1	8	yes	complemented
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	#525	1	2	yes	—
274	C₂³	#525	1	2	yes	—
275	C₂³	#535	1	2	yes	—
276	Q₈	—	2	8	no	—
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	D₄	—	2	8	no	—
279	D₄	—	4	16	no	—
280	D₄	—	4	16	no	—
281	D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	16	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	16	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	16	no	—
313	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#551	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
325	C₈	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2598	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	4	16	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	#2353	1	4	yes	—
351	C₄	#2603	1	4	yes	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	8	4	no	—
354	C₂	#13959	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20747	1	2	yes	—
356	C₂	#21415	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#21417	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#21815	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20772	C₂	semidirect
3. C₄×#376	C₂	semidirect
4. #11359	C₂	semidirect
6. #10923	C₂	semidirect
7. #10790	C₂	semidirect
11. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
12. C₄×#127	C₄	semidirect
13. C₄×#124	C₄	semidirect
264. C₄²	#104	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
#20772	2
C₄×#376	2
#11359	2
#11011	2
#10923	2
#10790	2