Subgroups — #364153

Order 512.

1375 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 425 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20671	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11109	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10805	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10794	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10757	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2935	—	2	4	no	—
15	D₄×M₁₆	—	2	4	no	—
16	#2932	C₄	1	4	yes	complemented
17	#2931	C₄	1	4	yes	complemented
18	#2911	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
22	#2879	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2879	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1884	—	2	4	no	—
26	#1884	—	2	4	no	—
27	#1812	—	2	4	no	—
28	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
29	#1742	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#338	—	2	4	no	—
32	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#568	—	2	4	no	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	—	4	4	no	—
40	#568	—	4	4	no	—
41	#568	—	4	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#532	—	2	2	no	—
56	#532	—	2	2	no	—
57	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#532	D₄	1	2	yes	—
60	#532	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#124	Q₈	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#124	Q₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#121	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#436	—	2	8	no	—
70	#435	—	2	8	no	—
71	#435	—	2	8	no	—
72	C₈×D₄	—	2	8	no	—
73	#428	—	4	4	no	—
74	#427	—	2	4	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	#421	—	2	8	no	—
80	#421	—	4	4	no	—
81	C₂×#104	—	2	8	no	—
82	#410	—	2	4	no	—
83	#410	—	2	4	no	—
84	C₂×#99	—	2	4	no	—
85	#408	—	2	2	no	—
86	#408	—	2	2	no	—
87	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#407	—	2	2	no	—
90	#407	—	2	2	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#344	—	2	8	no	—
96	#343	—	4	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#338	—	2	4	no	—
100	#338	—	2	4	no	—
101	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	1	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	1	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#131	—	4	8	no	—
126	#131	—	4	8	no	—
127	#131	—	4	8	no	—
128	#131	—	4	16	no	—
129	#131	—	4	16	no	—
130	#131	—	4	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
149	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	#127	—	2	2	no	—
168	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	#127	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	#124	—	2	2	no	—
171	#124	—	2	2	no	—
172	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
173	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
174	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	#124	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	#121	—	2	4	no	—
177	#121	—	2	4	no	—
178	#121	—	2	4	no	—
179	#121	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	2	4	no	—
183	C₄×D₄	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	#107	—	4	4	no	—
204	#106	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	#104	—	4	16	no	—
208	#99	—	4	8	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
211	#97	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	8	no	—
221	#41	—	2	8	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	8	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	1	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	8	4	no	—
244	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
247	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
248	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	2	8	no	—
282	M₁₆	—	4	8	no	—
283	M₁₆	—	4	8	no	—
284	M₁₆	—	4	16	no	—
285	M₁₆	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	8	no	—
296	C₂×C₈	—	4	8	no	—
297	C₂×C₈	—	4	8	no	—
298	C₂×C₈	—	4	16	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	4	no	—
301	C₂×C₈	—	4	4	no	—
302	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
303	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	2	1	no	—
315	C₄²	—	2	1	no	—
316	C₄²	—	2	1	no	—
317	C₄²	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	4	4	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	8	1	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	#380	1	4	yes	—
333	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	#553	1	4	yes	—
337	Q₈	—	2	4	no	—
338	Q₈	—	2	4	no	—
339	Q₈	—	2	4	no	—
340	Q₈	—	4	2	no	—
341	D₄	—	2	8	no	—
342	D₄	—	2	8	no	—
343	D₄	—	2	4	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	2	4	no	—
346	D₄	—	4	8	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	1	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	1	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	2	1	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	1	no	—
368	C₂×C₄	—	8	1	no	—
369	C₂×C₄	—	8	1	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	16	4	no	—
372	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
386	C₈	—	2	4	no	—
387	C₈	—	2	4	no	—
388	C₈	—	4	2	no	—
389	C₈	—	4	8	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	1	no	—
394	C₂²	—	4	1	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	16	2	no	—
401	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2353	1	2	yes	—
403	C₂²	#2543	1	2	yes	—
404	C₂²	#2579	1	2	yes	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	4	1	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	—	4	1	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	16	4	no	—
412	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2349	1	2	yes	—
415	C₄	#2534	1	2	yes	—
416	C₄	#2564	1	2	yes	—
417	C₂	—	2	1	no	—
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	—	2	2	no	—
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	4	4	no	—
422	C₂	—	8	2	no	—
423	C₂	#13960	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2297
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#13960
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20671	C₂	semidirect
4. #20340	C₂	semidirect
5. #11243	C₂	semidirect
6. #11109	C₂	semidirect
7. #10805	C₂	semidirect
8. #10794	C₂	semidirect
9. #10757	C₂	semidirect
16. #2932	C₄	semidirect
17. #2931	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
C₂×#1884	2
#20671	2
#20340	2
#11243	2
#11109	2
#10805	2
#10794	2
#10757	2