Subgroups — #364184

Order 512.

1400 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2930	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20989	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11099	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10760	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²⋊#338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2930	—	2	4	no	—
15	#2930	—	2	4	no	—
16	C₂×#436	C₄	1	4	yes	—
17	C₂×#435	C₄	1	4	yes	—
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1901	—	2	4	no	—
26	#1900	—	2	4	no	—
27	#1811	—	2	4	no	—
28	#1742	C₂²	1	4	yes	—
29	#1738	—	2	4	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	4	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
50	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#525	—	2	2	no	—
60	#525	—	2	2	no	—
61	#525	—	2	2	no	—
62	#525	—	2	2	no	—
63	C₂×#123	Q₈	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×#121	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×#120	Q₈	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#436	—	2	16	no	—
70	#435	—	2	16	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	C₂×#108	—	4	4	no	—
73	#424	—	2	2	no	—
74	#424	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#413	—	2	8	no	—
77	#413	—	4	4	no	—
78	C₂×#101	—	2	4	no	—
79	C₂×#100	—	2	4	no	—
80	#408	—	2	2	no	—
81	#408	—	2	2	no	—
82	#407	—	2	2	no	—
83	#407	—	2	2	no	—
84	#407	—	2	4	no	—
85	#407	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#405	—	2	2	no	—
90	#405	—	2	2	no	—
91	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#343	—	2	8	no	—
94	#341	—	2	4	no	—
95	#341	—	2	4	no	—
96	#341	—	2	4	no	—
97	#338	—	2	8	no	—
98	#338	—	4	4	no	—
99	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#41	—	2	1	no	—
101	C₂×#41	—	2	1	no	—
102	C₂×#41	—	2	1	no	—
103	C₂×#41	—	2	1	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
153	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	#123	—	2	4	no	—
172	#123	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
175	#121	—	2	4	no	—
176	#121	—	2	4	no	—
177	#120	—	2	4	no	—
178	#120	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	#117	—	2	1	no	—
182	#117	—	2	1	no	—
183	#117	—	2	1	no	—
184	#117	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	#108	—	4	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
193	#101	—	4	8	no	—
194	#100	—	4	8	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
198	#97	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	8	2	no	—
202	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
205	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
206	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	4	8	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	M₁₆	—	4	8	no	—
261	M₁₆	—	4	16	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	4	8	no	—
285	C₂×C₈	—	4	16	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	8	8	no	—
315	C₂³	#380	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#554	1	4	yes	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	2	4	no	—
359	C₈	—	2	2	no	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₈	—	4	8	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2349	1	2	yes	—
379	C₂²	#2564	1	2	yes	—
380	C₂²	#2579	1	2	yes	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2353	1	2	yes	—
387	C₄	#2534	1	2	yes	—
388	C₄	#2543	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	2	2	no	—
392	C₂	—	4	4	no	—
393	C₂	—	8	2	no	—
394	C₂	#13960	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#20673	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂×#525	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#407 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1811	C₂	semidirect
4. C₂×#1738	C₂	semidirect
5. #11230	C₂	semidirect
6. #11099	C₂	semidirect
7. #10815	C₂	semidirect
8. #10760	C₂	semidirect
9. C₂²⋊#338	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2930	2
#20989	2
C₂×#1811	2
C₂×#1738	2
#11230	2
#11099	2
#10815	2
#10760	2
C₂²⋊#338	2