Subgroups — #364193

Order 512.

1732 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1887	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11073	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10740	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
17	#2366	—	2	4	no	—
18	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
19	#2328	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#127	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1887	—	2	8	no	—
26	#1800	—	2	4	no	—
27	#1742	C₂²	1	2	yes	—
28	#1740	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#342	—	2	4	no	—
31	#1733	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×#127	—	2	2	no	—
39	C₂×#127	—	2	2	no	—
40	C₂×#127	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
44	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
45	#518	—	2	8	no	—
46	#518	—	2	4	no	—
47	#518	—	2	4	no	—
48	#518	—	4	4	no	—
49	#518	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#424	—	4	4	no	—
66	#423	—	2	4	no	—
67	#418	—	2	8	no	—
68	#418	—	2	8	no	—
69	C₂×#102	—	4	4	no	—
70	C₂×#100	—	2	4	no	—
71	C₂×#100	—	2	4	no	—
72	C₂×#100	—	2	4	no	—
73	#390	—	2	2	no	—
74	#390	—	2	8	no	—
75	#390	—	2	2	no	—
76	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#390	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
78	#386	—	2	8	no	—
79	#386	—	2	8	no	—
80	#384	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
81	#382	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
82	#380	—	2	2	no	—
83	#379	—	2	2	no	—
84	#379	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#376	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
89	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	#343	—	2	4	no	—
91	#342	—	2	4	no	—
92	#342	—	2	4	no	—
93	#339	—	2	8	no	—
94	#339	—	4	4	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
96	C₂⁵	—	2	1	no	—
97	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	#127	—	2	4	no	—
132	#127	—	2	4	no	—
133	#127	—	2	8	no	—
134	#127	—	2	8	no	—
135	#127	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
136	#127	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₄×D₄	—	4	8	no	—
138	C₄×D₄	—	4	8	no	—
139	C₄×D₄	—	4	8	no	—
140	C₄×D₄	—	4	16	no	—
141	C₄×D₄	—	4	16	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	8	16	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	#117	#41	1	8	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
186	#102	—	4	16	no	—
187	#100	—	4	8	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	8	4	no	—
198	C₂⁴	—	8	4	no	—
199	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×D₄	—	2	16	no	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	16	no	—
226	C₂×D₄	—	8	16	no	—
227	C₂×D₄	—	8	8	no	—
228	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
231	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	2	1	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	8	no	—
290	C₄²	—	4	8	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	4	no	—
293	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	8	no	—
297	C₂³	—	2	8	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	8	8	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	16	4	no	—
313	C₂³	—	16	4	no	—
314	C₂³	—	16	4	no	—
315	C₂³	#380	1	8	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#525	1	2	yes	—
320	C₂³	#534	1	2	yes	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	2	8	no	—
324	D₄	—	2	8	no	—
325	D₄	—	2	8	no	—
326	D₄	—	4	32	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	8	16	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	8	no	—
347	C₂×C₄	—	16	8	no	—
348	C₂×C₄	—	16	8	no	—
349	C₂×C₄	—	16	16	no	—
350	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
362	C₈	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	—	4	1	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	8	no	—
370	C₂²	—	4	8	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	8	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	16	4	no	—
379	C₂²	—	16	4	no	—
380	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2534	1	2	yes	—
384	C₂²	#2579	1	2	yes	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	—	8	8	no	—
391	C₄	—	8	2	no	—
392	C₄	#2349	1	2	yes	—
393	C₄	#2353	1	2	yes	—
394	C₄	#2543	1	2	yes	—
395	C₄	#2564	1	2	yes	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	4	8	no	—
401	C₂	—	8	4	no	—
402	C₂	#13960	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#21782	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20638	C₂	semidirect
4. #20354	C₂	semidirect
5. #11212	C₂	semidirect
6. #11073	C₂	semidirect
7. #10816	C₂	semidirect
8. #10776	C₂	semidirect
9. #10740	C₂	semidirect
19. #2328	C₄	semidirect
22. C₄×#127	C₄	semidirect
54. C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
77. #390	C₂×C₄	semidirect
80. #384	C₂×C₄	semidirect
81. #382	C₂×C₄	semidirect
88. #376	C₂×C₄	semidirect
89. C₄³	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34210	2
C₂×#1887	2
#20638	2
#20354	2
#11212	2
#11073	2
#10816	2
#10776	2
#10740	2