Subgroups — #364195

Order 512.

1506 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1885	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11074	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10777	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10740	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
17	#2367	—	2	4	no	—
18	#2342	—	2	4	no	—
19	#2326	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#124	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1885	—	2	8	no	—
26	#1800	—	2	4	no	—
27	#1742	C₂²	1	2	yes	—
28	#1740	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#342	—	2	4	no	—
31	#1733	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#124	—	2	2	no	—
38	C₂×#124	—	2	2	no	—
39	C₂×#124	—	2	2	no	—
40	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×#124	Q₈	1	4	yes	—
44	#519	—	4	4	no	—
45	#518	—	2	8	no	—
46	#518	—	2	4	no	—
47	#518	—	2	4	no	—
48	#518	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
51	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#424	—	4	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#419	—	2	8	no	—
67	#419	—	2	8	no	—
68	C₂×#103	—	4	4	no	—
69	C₂×#100	—	2	4	no	—
70	C₂×#100	—	2	4	no	—
71	C₂×#100	—	2	4	no	—
72	#391	—	2	2	no	—
73	#391	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	#390	—	2	2	no	—
75	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#388	—	2	8	no	—
77	#388	—	2	8	no	—
78	#385	—	2	8	no	—
79	#384	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
80	#382	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
81	#381	—	2	2	no	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	#379	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#376	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
89	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	#343	—	2	4	no	—
91	#342	—	2	4	no	—
92	#342	—	2	4	no	—
93	#339	—	2	8	no	—
94	#339	—	4	4	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
96	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
116	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	#124	—	2	4	no	—
126	#124	—	2	4	no	—
127	#124	—	2	8	no	—
128	#124	—	2	8	no	—
129	#124	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
130	#124	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
133	C₄×D₄	—	4	8	no	—
134	C₄×D₄	—	4	8	no	—
135	C₄×D₄	—	4	16	no	—
136	C₄×D₄	—	4	16	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	4	8	no	—
145	#117	#41	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
183	#103	—	4	16	no	—
184	#100	—	4	8	no	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	8	4	no	—
191	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
217	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
218	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	4	8	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	8	4	no	—
284	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	16	4	no	—
296	C₂³	#380	1	8	yes	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#525	1	2	yes	—
301	C₂³	#534	1	2	yes	—
302	Q₈	—	2	8	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	2	8	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	—	16	8	no	—
332	C₂×C₄	—	16	16	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
345	C₈	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	8	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	8	no	—
357	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2534	1	2	yes	—
361	C₂²	#2579	1	2	yes	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	8	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	#2349	1	2	yes	—
371	C₄	#2353	1	2	yes	—
372	C₄	#2543	1	2	yes	—
373	C₄	#2564	1	2	yes	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	4	8	no	—
379	C₂	#13960	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#21784	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11212	C₂	semidirect
6. #11074	C₂	semidirect
7. #10816	C₂	semidirect
8. #10777	C₂	semidirect
19. #2326	C₄	semidirect
22. C₄×#124	C₄	semidirect
50. C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
73. #391	C₂×C₄	semidirect
79. #384	C₂×C₄	semidirect
80. #382	C₂×C₄	semidirect
88. #376	C₂×C₄	semidirect
89. C₄³	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34211	2
C₂×#1885	2
#20638	2
#20354	2
#11212	2
#11074	2
#10816	2
#10777	2
#10740	2