Subgroups — #364196

Order 512.

1400 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1886	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11212	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11074	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10816	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10777	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10741	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
17	#2365	—	2	4	no	—
18	#2344	—	2	4	no	—
19	#2327	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2310	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1886	—	2	8	no	—
26	#1801	—	2	4	no	—
27	#1742	C₂²	1	2	yes	—
28	#1740	—	2	4	no	—
29	#1740	C₂²	1	2	yes	—
30	#1740	C₂²	1	2	yes	—
31	#1733	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	4	yes	—
44	#519	—	2	8	no	—
45	#519	—	2	4	no	—
46	#519	—	2	4	no	—
47	#519	—	4	4	no	—
48	#519	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	—	2	4	no	—
56	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#424	—	4	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#419	—	2	8	no	—
67	#419	—	2	8	no	—
68	C₂×#103	—	4	4	no	—
69	C₂×#101	—	2	4	no	—
70	C₂×#101	—	2	4	no	—
71	C₂×#101	—	2	4	no	—
72	#391	—	2	2	no	—
73	#391	—	2	2	no	—
74	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#389	—	2	8	no	—
77	#387	—	2	8	no	—
78	#387	—	2	8	no	—
79	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#381	—	2	2	no	—
82	#381	—	2	2	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#343	—	2	4	no	—
91	#342	—	2	4	no	—
92	#342	—	2	4	no	—
93	#339	—	2	8	no	—
94	#339	—	4	4	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
111	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
127	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
131	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	16	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	4	8	no	—
144	#117	—	4	8	no	—
145	#117	—	4	8	no	—
146	#117	#41	1	8	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
182	#103	—	4	16	no	—
183	#101	—	4	8	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	#95	—	2	8	no	—
187	#95	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
211	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
212	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	8	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	4	16	no	—
278	C₄²	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	4	4	no	—
280	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	#525	1	2	yes	—
287	C₂³	#534	1	2	yes	—
288	Q₈	—	2	8	no	—
289	Q₈	—	2	8	no	—
290	Q₈	—	2	8	no	—
291	Q₈	—	2	8	no	—
292	Q₈	—	2	8	no	—
293	Q₈	—	4	4	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
334	C₈	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2534	1	2	yes	—
344	C₂²	#2579	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	8	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	8	2	no	—
352	C₄	—	8	8	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	#2349	1	2	yes	—
355	C₄	#2353	1	2	yes	—
356	C₄	#2543	1	2	yes	—
357	C₄	#2564	1	2	yes	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	2	2	no	—
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	#13960	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#21783	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
19. #2327	C₄	semidirect
22. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34209	2
C₂×#1886	2
#20639	2
#20355	2
#11212	2
#11074	2
#10816	2
#10777	2
#10741	2